Как решить уравнение: |cosx| = cosx - 2sinx?

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями решение уравнения алгебра 11 класс cosX sinx тригонометрические уравнения математика учебник алгебры Новый

Чтобы решить уравнение |cosx| = cosx - 2sinx, давайте разберем его на два случая, так как модуль функции может принимать разные значения в зависимости от знака выражения внутри модуля.

1. Случай 1: cosx >= 0.

В этом случае модуль cosx равен просто cosx. Поэтому уравнение становится:

cosx = cosx - 2sinx

Теперь упростим это уравнение:

• Переносим cosx влево:
0 = -2sinx
• Отсюда следует, что:
sinx = 0
• Решаем это уравнение:
x = kπ, где k - целое число.
• Теперь проверим, удовлетворяют ли эти решения условию cosx >= 0:
• cos(kπ) = (-1)^k, что >= 0, если k - четное число.
• Таким образом, решения в этом случае:
x = 2kπ, где k - целое число.
• Случай 2: cosx < 0.

В этом случае модуль cosx равен -cosx. Уравнение становится:

-cosx = cosx - 2sinx

Упростим его:

• Переносим все члены в одну сторону:
0 = 2cosx - 2sinx
• Делим на 2:
0 = cosx - sinx
• Отсюда следует:
cosx = sinx
• Это уравнение выполняется, когда:
x = π/4 + kπ, где k - целое число.
• Теперь проверим, удовлетворяют ли эти решения условию cosx < 0:
• cos(π/4 + kπ) < 0, когда k - нечетное число.
• Таким образом, решения в этом случае:
x = π/4 + (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Теперь мы можем объединить все найденные решения:

• Случай 1: x = 2kπ, где k - четное число.
• Случай 2: x = π/4 + (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Таким образом, у нас есть полное множество решений для данного уравнения.