Какое значение x решает уравнение |x + 4| = |2 - |x|?

• A) x = 3
• B) x = 0
• C) x = -1
• D) x = 1

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями алгебра 11 класс уравнение модуль решение уравнения значение x Новый

Чтобы решить уравнение |x + 4| = |2 - |x|, давайте рассмотрим оба модуля и их возможные случаи.

Сначала разберем модуль |x + 4|:

• Если x + 4 >= 0, то |x + 4| = x + 4.
• Если x + 4 < 0, то |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4.

Теперь разберем модуль |2 - |x|:

• Если 2 - |x| >= 0, то |2 - |x|| = 2 - |x|.
• Если 2 - |x| < 0, то |2 - |x|| = - (2 - |x|) = |x| - 2.

Теперь рассмотрим разные случаи для x:

Случай 1: x >= 0

Тогда |x| = x, и у нас есть:

• |x + 4| = x + 4
• |2 - |x|| = 2 - x

Уравнение становится:

x + 4 = 2 - x

Решим это уравнение:

1. Сложим x с обеих сторон: 2x + 4 = 2.
2. Вычтем 4: 2x = -2.
3. Разделим на 2: x = -1.

Но x = -1 не удовлетворяет условию x >= 0, поэтому этот случай не дает решения.

Случай 2: x < 0

Тогда |x| = -x, и у нас есть:

• |x + 4| = -x - 4 (поскольку x + 4 >= 0 для x < -4)
• |2 - |x|| = 2 + x.

Уравнение становится:

-x - 4 = 2 + x.

Решим это уравнение:

1. Сложим x с обеих сторон: -4 = 2 + 2x.
2. Вычтем 2: -6 = 2x.
3. Разделим на 2: x = -3.

Это решение удовлетворяет условию x < 0.

Теперь проверим, подходит ли это значение x = -3 в исходное уравнение:

• |x + 4| = |-3 + 4| = |1| = 1.
• |2 - |x|| = |2 - 3| = |-1| = 1.

Оба модуля равны, значит, x = -3 является решением.

Теперь проверим другие варианты из предложенных ответов:

• A) x = 3: |3 + 4| = 7, |2 - 3| = 1 (не равно).
• B) x = 0: |0 + 4| = 4, |2 - 0| = 2 (не равно).
• C) x = -1: |-1 + 4| = 3, |2 - 1| = 1 (не равно).
• D) x = 1: |1 + 4| = 5, |2 - 1| = 1 (не равно).

Таким образом, единственным решением является x = -3, который не входит в предложенные варианты. Возможно, в вопросе ошибка, так как правильного ответа среди предложенных нет.