Срочно, помогите решить уравнение |x + 3| = |2x² + x - 5|.

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями уравнение алгебра 11 класс решение уравнения модуль квадратное уравнение математическая помощь Новый

Для решения уравнения |x + 3| = |2x² + x - 5|, начнем с того, что у нас есть абсолютные значения, которые могут принимать разные формы в зависимости от знаков выражений внутри них. Поэтому мы рассмотрим несколько случаев.

1. **Сначала найдем точки, в которых выражения внутри абсолютных значений равны нулю.**

• Для первого выражения: x + 3 = 0, отсюда x = -3.
• Для второго выражения: 2x² + x - 5 = 0. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-5) = 1 + 40 = 41. Так как D > 0, у уравнения два корня:

• x₁ = (-1 + √41) / 4,
• x₂ = (-1 - √41) / 4.

Эти корни мы также будем использовать для определения случаев.

2. **Теперь рассмотрим различные случаи в зависимости от знаков выражений.**

**Случай 1:** x + 3 ≥ 0 и 2x² + x - 5 ≥ 0.

• Тогда |x + 3| = x + 3 и |2x² + x - 5| = 2x² + x - 5.
• Получаем уравнение: x + 3 = 2x² + x - 5.
• Упростим его: 0 = 2x² - 8. Значит, 2x² = 8, отсюда x² = 4, и x = ±2.
• Проверяем, какие из этих значений удовлетворяют условиям x + 3 ≥ 0 и 2x² + x - 5 ≥ 0.
• Для x = 2: 2 + 3 = 5 (≥ 0) и 2*2² + 2 - 5 = 8 + 2 - 5 = 5 (≥ 0). Значит, x = 2 подходит.
• Для x = -2: -2 + 3 = 1 (≥ 0) и 2*(-2)² + (-2) - 5 = 8 - 2 - 5 = 1 (≥ 0). Значит, x = -2 тоже подходит.

**Случай 2:** x + 3 ≥ 0 и 2x² + x - 5 < 0.

• Тогда |x + 3| = x + 3 и |2x² + x - 5| = -(2x² + x - 5).
• Получаем уравнение: x + 3 = -2x² - x + 5.
• Упрощаем: 2x² + 2x - 2 = 0, делим на 2: x² + x - 1 = 0.
• Находим дискриминант: D = 1² - 4*(-1) = 1 + 4 = 5. Значит, x₁ = (-1 + √5) / 2 и x₂ = (-1 - √5) / 2. Проверяем, какие из них удовлетворяют условиям.

**Случай 3:** x + 3 < 0 и 2x² + x - 5 ≥ 0.

• Тогда |x + 3| = -(x + 3) и |2x² + x - 5| = 2x² + x - 5.
• Получаем: -(x + 3) = 2x² + x - 5. Упрощаем: -x - 3 = 2x² + x - 5.
• Получаем уравнение: 2x² + 2x - 2 = 0, делим на 2: x² + x - 1 = 0. Это то же самое уравнение, что и в предыдущем случае.

**Случай 4:** x + 3 < 0 и 2x² + x - 5 < 0.

• Тогда |x + 3| = -(x + 3) и |2x² + x - 5| = -(2x² + x - 5).
• Получаем: -(x + 3) = -(2x² + x - 5). Упрощаем: x + 3 = 2x² + x - 5.
• Это уравнение уже было решено в первом случае.

3. **Теперь подводим итоги.**

Мы нашли решения x = 2 и x = -2, а также корни из уравнения x² + x - 1 = 0, которые равны x₁ = (-1 + √5) / 2 и x₂ = (-1 - √5) / 2. Необходимо проверить, подходят ли они по условиям. После проверки, мы можем оставить только те, которые удовлетворяют всем условиям.

Таким образом, окончательные решения уравнения |x + 3| = |2x² + x - 5|:

• x = 2,
• x = -2,
• x = (-1 + √5) / 2,
• x = (-1 - √5) / 2.