Как решить уравнение: корень из 3 + 2(синус x + косинус x)² - 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решить уравнение корень из 3 синус x косинус x алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения корень из 3 + 2(синус x + косинус x)² - 2 = 0 начнем с упрощения уравнения.

1. Переносим все известные значения на одну сторону уравнения:
• Корень из 3 - 2 + 2(синус x + косинус x)² = 0.
• Это можно упростить до: 2(синус x + косинус x)² = 2 - корень из 3.
2. Теперь делим обе стороны уравнения на 2:
• (синус x + косинус x)² = (2 - корень из 3)/2.
3. Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
• синус x + косинус x = ±√((2 - корень из 3)/2).

Теперь давайте упростим выражение √((2 - корень из 3)/2).

1. Сначала найдем численное значение 2 - корень из 3. Корень из 3 примерно равен 1.732, поэтому:
• 2 - 1.732 ≈ 0.268.
2. Теперь делим это значение на 2:
• 0.268 / 2 ≈ 0.134.
3. Теперь извлекаем квадратный корень:
• √0.134 ≈ 0.366.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

• синус x + косинус x = 0.366
• синус x + косинус x = -0.366

Теперь воспользуемся формулой для суммы синуса и косинуса:

• синус x + косинус x = √2 * синус(x + π/4).

Таким образом, у нас есть:

• √2 * синус(x + π/4) = 0.366
• √2 * синус(x + π/4) = -0.366

Теперь делим обе стороны на √2:

• синус(x + π/4) = 0.366/√2 ≈ 0.258.
• синус(x + π/4) = -0.366/√2 ≈ -0.258.

Теперь находим значения x, используя обратную функцию синуса:

• x + π/4 = arcsin(0.258) + 2kπ или x + π/4 = π - arcsin(0.258) + 2kπ, где k - целое число.
• x + π/4 = arcsin(-0.258) + 2kπ или x + π/4 = π - arcsin(-0.258) + 2kπ.

Теперь решаем для x:

• x = arcsin(0.258) - π/4 + 2kπ
• x = π - arcsin(0.258) - π/4 + 2kπ
• x = arcsin(-0.258) - π/4 + 2kπ
• x = π - arcsin(-0.258) - π/4 + 2kπ.

После нахождения всех значений x, не забудьте проверить их в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они верны.