Чтобы решить уравнение sin(3x + pi/3) = sin(x - pi/6), необходимо воспользоваться свойствами тригонометрических функций и основными свойствами равенства синусов.

Шаг 1: Использование свойства равенства синусов

Согласно свойству равенства синусов, если sin(A) = sin(B), то:

• A = B + 2k*pi, где k - целое число;
• A = pi - B + 2k*pi, где k - целое число.

В нашем случае A = 3x + pi/3 и B = x - pi/6. Подставим эти выражения в равенство.

Шаг 2: Запись первого уравнения

Первое уравнение будет выглядеть так:

3x + pi/3 = x - pi/6 + 2k*pi.

Шаг 3: Переносим все x в одну часть уравнения

Переносим x влево и pi/3 вправо:

3x - x = -pi/6 - pi/3 + 2k*pi.

2x = -pi/6 - 2pi/6 + 2k*pi.

2x = -3pi/6 + 2k*pi.

2x = -pi/2 + 2k*pi.

x = -pi/4 + k*pi.

Шаг 4: Запись второго уравнения

Теперь запишем второе уравнение:

3x + pi/3 = pi - (x - pi/6) + 2k*pi.

3x + pi/3 = pi - x + pi/6 + 2k*pi.

Шаг 5: Упрощение второго уравнения

Переносим x в одну часть:

3x + x = pi - pi/3 - pi/6 + 2k*pi.

4x = pi - 2pi/6 - pi/6 + 2k*pi.

4x = pi - 3pi/6 + 2k*pi.

4x = pi/6 + 2k*pi.

x = pi/24 + k*pi/4.

Шаг 6: Объединение решений

Таким образом, мы получили два семейства решений:

• x = -pi/4 + k*pi, где k - целое число;
• x = pi/24 + k*pi/4, где k - целое число.

Шаг 7: Проверка решений

На заключительном этапе желательно проверить полученные значения на принадлежность заданному уравнению. Это можно сделать, подставив найденные значения x обратно в исходное уравнение и убедившись, что обе стороны равны.

Таким образом, мы завершили решение уравнения sin(3x + pi/3) = sin(x - pi/6) и получили два семейства решений для x.