Как решить уравнение: sin(4x) - sin(7x) = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 11 класс sin(4x) - sin(7x) = 0 тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения sin(4x) - sin(7x) = 0 мы можем воспользоваться свойством синуса, а именно тем, что разность синусов можно представить через произведение. Мы знаем, что:

• sin(A) - sin(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2).

В нашем случае A = 7x и B = 4x. Теперь подставим эти значения в формулу:

• sin(4x) - sin(7x) = 2 * cos((4x + 7x) / 2) * sin((4x - 7x) / 2).

Упростим выражения:

• (4x + 7x) / 2 = 11x / 2,
• (4x - 7x) / 2 = -3x / 2.

Теперь у нас есть:

2 cos(11x / 2) sin(-3x / 2) = 0.

Согласно свойству произведения, данное выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. cos(11x / 2) = 0,
2. sin(-3x / 2) = 0.

Теперь решим каждый из случаев отдельно.

1. Решение cos(11x / 2) = 0:

Косинус равен нулю при:

• 11x / 2 = (2k + 1) * π / 2, где k - любое целое число.

Умножим обе стороны на 2:

• 11x = (2k + 1) * π.

Теперь выразим x:

• x = (2k + 1) * π / 11.

2. Решение sin(-3x / 2) = 0:

Синус равен нулю при:

• -3x / 2 = n * π, где n - любое целое число.

Умножим обе стороны на -2/3:

• x = -2n / 3 * π.

Таким образом, мы нашли общее решение для уравнения sin(4x) - sin(7x) = 0. Ответ можно записать в виде:

• x = (2k + 1) * π / 11, где k - любое целое число,
• x = -2n / 3 * π, где n - любое целое число.