Как решить уравнения, применяя метод введения вспомогательного?

1. sin2x + 7cos2x = 2;
2. 4sinx + 3cosx = 2.

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнений метод введения вспомогательного алгебра 11 класс синус косинус уравнения примеры уравнений Новый

Метод введения вспомогательного – это полезный подход для решения тригонометрических уравнений. Давайте разберем его на примерах, которые вы привели.

1. Уравнение: sin(2x) + 7cos(2x) = 2

Первый шаг – мы можем использовать формулы двойного угла. Напомним, что:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

Мы можем ввести вспомогательную переменную. Пусть:

• y = sin(x)
• cos(x) = √(1 - y^2)

Тогда уравнение можно переписать, но сначала выразим cos(2x) через y:

• cos(2x) = 1 - 2y^2

Теперь подставим это в уравнение:

2y(√(1 - y^2)) + 7(1 - 2y^2) = 2.

Упрощаем уравнение:

• 2y√(1 - y^2) + 7 - 14y^2 = 2
• 2y√(1 - y^2) - 14y^2 + 5 = 0.

Это уравнение можно решить численно или графически, поскольку оно не имеет простого аналитического решения. После нахождения значений y, можно будет найти x.

2. Уравнение: 4sin(x) + 3cos(x) = 2

Для этого уравнения также введем вспомогательную переменную. Мы можем выразить sin(x) и cos(x) через одну переменную. Например, пусть:

• t = tan(x)

Тогда у нас есть:

• sin(x) = t / √(1 + t^2)
• cos(x) = 1 / √(1 + t^2)

Подставим это в уравнение:

4(t / √(1 + t^2)) + 3(1 / √(1 + t^2)) = 2.

Умножим обе стороны на √(1 + t^2):

4t + 3 = 2√(1 + t^2).

Теперь мы можем возвести обе стороны в квадрат:

(4t + 3)^2 = 4(1 + t^2).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

• 16t^2 + 24t + 9 = 4 + 4t^2.
• 12t^2 + 24t + 5 = 0.

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней. После нахождения t, мы можем найти x, используя обратные тригонометрические функции.

Таким образом, метод введения вспомогательной переменной позволяет упростить решение тригонометрических уравнений, переводя их в более удобный вид.