Как с помощью схемы Горнера можно разложить на множители следующие многочлены:

1. P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6
2. M(x) = 2x⁴ + x³ - 35x² - 88x - 60
3. K(x) = x⁵ + 3x⁴ - 11x³ - 51x² - 62x - 24

Алгебра 11 класс Разложение многочленов на множители схема Горнера разложение на множители многочлены алгебра 11 класс p(x) m(x) K(x) Новый

Схема Горнера — это эффективный способ деления многочленов, который позволяет находить корни и разлагать многочлены на множители. Давайте рассмотрим каждый из предложенных многочленов по порядку.

1. Многочлен P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6

Сначала найдем корни многочлена P(x). Поскольку коэффициенты многочлена целые, мы можем использовать теорему о рациональных корнях. Проверим, какие из делителей свободного члена (в данном случае 6) могут быть корнями:

• ±1, ±2, ±3, ±6

Проверим, например, x = 1:

P(1) = 1³ - 2(1)² - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0

Так как P(1) = 0, значит, x = 1 — корень. Теперь используем схему Горнера для деления P(x) на (x - 1):

1. Записываем коэффициенты: 1, -2, -5, 6
2. Ставим 1 (корень) слева от коэффициентов.
3. Схема Горнера:

1 | 1 -2 -5 6

| 1 -1 -6

------------------

| 1 -1 -6 0

Получаем многочлен x² - x - 6. Теперь разложим его на множители:

x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Итак, P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2).

2. Многочлен M(x) = 2x⁴ + x³ - 35x² - 88x - 60

Сначала проверим возможные корни. Делители свободного члена (-60) и ведущего коэффициента (2):

• ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Проверим, например, x = -3:

M(-3) = 2(-3)⁴ + (-3)³ - 35(-3)² - 88(-3) - 60 = 0

Так как M(-3) = 0, x = -3 — корень. Применим схему Горнера:

1. Записываем коэффициенты: 2, 1, -35, -88, -60.
2. Ставим -3 слева от коэффициентов.

-3 | 2 1 -35 -88 -60

| -6 15 60 84

-----------------------

| 2 -5 -20 -28 0

Получаем многочлен 2x³ - 5x² - 20x - 28. Теперь разложим его на множители, проверив корни:

Можем заметить, что 2 можно вынести:

2(x³ - (5/2)x² - 10x - 14)

Теперь пробуем найти корни у кубического многочлена (например, x = -2). После нахождения корней можно использовать схему Горнера снова.

3. Многочлен K(x) = x⁵ + 3x⁴ - 11x³ - 51x² - 62x - 24

Аналогично, проверяем возможные корни. Делители свободного члена (-24) и ведущего коэффициента (1):

• ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Проверим, например, x = -2:

K(-2) = (-2)⁵ + 3(-2)⁴ - 11(-2)³ - 51(-2)² - 62(-2) - 24 = 0

Так как K(-2) = 0, x = -2 — корень. Используем схему Горнера:

1. Записываем коэффициенты: 1, 3, -11, -51, -62, -24.
2. Ставим -2 слева от коэффициентов.

-2 | 1 3 -11 -51 -62 -24

| -2 -2 26 50 24

--------------------------

| 1 1 -13 -1 -38 0

Получаем многочлен x⁴ + x³ - 13x² - x - 38. Далее можно продолжить разложение, проверяя корни и используя схему Горнера.

Таким образом, с помощью схемы Горнера мы можем находить корни многочленов и разлагать их на множители. Этот метод эффективен и позволяет быстро получать результаты.