Похожие вопросы
2024-12-16 09:43:53
Как упростить выражение: cos(альфа-90 градусов) + sin(альфа-180 градусов) + tg в квадрате(180 градусов-альфа) + ctg в квадрате(альфа-180 градусов)? Пожалуйста, помогите, напишите решение.
Алгебра 11 класс Тригонометрические функции упрощение тригонометрических выражений алгебра cos sin tg ctg Углы математика решение задачи Тригонометрия
2024-12-16 09:44:14
Для упрощения данного выражения мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства функций. Начнем с каждого из членов выражения по отдельности.
Шаг 1: Упрощение первого членаРассмотрим первый член: cos(альфа - 90 градусов).
Согласно тригонометрическим тождествам, мы знаем, что:
- cos(альфа - 90 градусов) = sin(альфа).
Теперь рассмотрим второй член: sin(альфа - 180 градусов).
Также по тригонометрическим тождествам, мы имеем:
- sin(альфа - 180 градусов) = -sin(альфа).
Теперь перейдем к третьему члену: tg в квадрате(180 градусов - альфа).
Используя тождество, мы знаем:
- tg(180 градусов - альфа) = -tg(альфа).
Следовательно:
- tg в квадрате(180 градусов - альфа) = (tg(альфа))^2.
Теперь последний член: ctg в квадрате(альфа - 180 градусов).
Согласно тождеству, мы имеем:
- ctg(альфа - 180 градусов) = -ctg(альфа).
Таким образом:
- ctg в квадрате(альфа - 180 градусов) = (ctg(альфа))^2.
Теперь подставим все упрощенные члены обратно в исходное выражение:
- sin(альфа) + (-sin(альфа)) + (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2.
Сложим их:
- sin(альфа) - sin(альфа) = 0.
Осталось только:
- (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2.
Мы знаем, что:
- (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2 = (tg(альфа))^2 + (1/tg(альфа))^2.
Обозначим tg(альфа) как t. Тогда:
- t^2 + (1/t)^2 = t^2 + 1/t^2 = (t^2 + 1)/t^2.
Это выражение всегда больше или равно 2, так как по неравенству AM-GM:
- (t^2 + 1)/2 >= sqrt(t^2 * 1) = 1.
Ответ: (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2 = (tg(альфа))^2 + (1/tg(альфа))^2.
