Как упростить выражение: cos(альфа-90 градусов) + sin(альфа-180 градусов) + tg в квадрате(180 градусов-альфа) + ctg в квадрате(альфа-180 градусов)? Пожалуйста, помогите, напишите решение.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции упрощение тригонометрических выражений алгебра cos sin tg ctg Углы математика решение задачи Тригонометрия Новый

Для упрощения данного выражения мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства функций. Начнем с каждого из членов выражения по отдельности.

Шаг 1: Упрощение первого члена

Рассмотрим первый член: cos(альфа - 90 градусов).

Согласно тригонометрическим тождествам, мы знаем, что:

• cos(альфа - 90 градусов) = sin(альфа).

Шаг 2: Упрощение второго члена

Теперь рассмотрим второй член: sin(альфа - 180 градусов).

Также по тригонометрическим тождествам, мы имеем:

• sin(альфа - 180 градусов) = -sin(альфа).

Шаг 3: Упрощение третьего члена

Теперь перейдем к третьему члену: tg в квадрате(180 градусов - альфа).

Используя тождество, мы знаем:

• tg(180 градусов - альфа) = -tg(альфа).

Следовательно:

• tg в квадрате(180 градусов - альфа) = (tg(альфа))^2.

Шаг 4: Упрощение четвертого члена

Теперь последний член: ctg в квадрате(альфа - 180 градусов).

Согласно тождеству, мы имеем:

• ctg(альфа - 180 градусов) = -ctg(альфа).

Таким образом:

• ctg в квадрате(альфа - 180 градусов) = (ctg(альфа))^2.

Шаг 5: Подстановка и упрощение

Теперь подставим все упрощенные члены обратно в исходное выражение:

• sin(альфа) + (-sin(альфа)) + (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2.

Сложим их:

• sin(альфа) - sin(альфа) = 0.

Осталось только:

• (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2.

Шаг 6: Использование тождества

Мы знаем, что:

• (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2 = (tg(альфа))^2 + (1/tg(альфа))^2.

Обозначим tg(альфа) как t. Тогда:

• t^2 + (1/t)^2 = t^2 + 1/t^2 = (t^2 + 1)/t^2.

Это выражение всегда больше или равно 2, так как по неравенству AM-GM:

• (t^2 + 1)/2 >= sqrt(t^2 * 1) = 1.

Итак, итоговое упрощенное выражение:

Ответ: (tg(альфа))^2 + (ctg(альфа))^2 = (tg(альфа))^2 + (1/tg(альфа))^2.