Как упростить выражение (sin(a+п/2)cos(a-п)tg(-a))/(sin(a-п)cos(a-3п/2)ctg(п-a)) в алгебре?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции упростить выражение алгебра тригонометрические функции sin cos tg ctg математические выражения решение задач алгебраические преобразования Новый

Для упрощения данного выражения, давайте разберем его по частям, используя тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Начнем с самого выражения:

(sin(a + π/2)cos(a - π)tg(-a))/(sin(a - π)cos(a - 3π/2)ctg(π - a))

1. Упрощение числителя:
• sin(a + π/2) = cos(a) (по тождеству сдвига на π/2)
• cos(a - π) = -cos(a) (поскольку cos(x - π) = -cos(x))
• tg(-a) = -tg(a) (так как тангенс является нечетной функцией)

Таким образом, числитель становится:

cos(a) * (-cos(a)) * (-tg(a)) = cos^2(a) * tg(a)

2. Упрощение знаменателя:
• sin(a - π) = -sin(a) (поскольку sin(x - π) = -sin(x))
• cos(a - 3π/2) = sin(a) (по тождеству сдвига на 3π/2)
• ctg(π - a) = -ctg(a) (так как котангенс является нечетной функцией)

Таким образом, знаменатель становится:

(-sin(a)) * sin(a) * (-ctg(a)) = sin^2(a) * ctg(a)

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

(cos^2(a) * tg(a)) / (sin^2(a) * ctg(a))

Теперь вспомним, что tg(a) = sin(a)/cos(a) и ctg(a) = cos(a)/sin(a). Подставим эти значения:

(cos^2(a) * (sin(a)/cos(a))) / (sin^2(a) * (cos(a)/sin(a)))

Упростим дробь:

1. В числителе: cos^2(a) * (sin(a)/cos(a)) = cos(a) * sin(a)
2. В знаменателе: sin^2(a) * (cos(a)/sin(a)) = sin(a) * cos(a)

Теперь у нас получается:

(cos(a) * sin(a)) / (sin(a) * cos(a))

Это выражение сокращается:

1

Таким образом, окончательный ответ после упрощения выражения:

1