Чтобы вычислить производную функции f(x) = |x^2 - 14x + 45| в точке x = 6, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала упростим выражение внутри модуля:

x^2 - 14x + 45

Это квадратный трёхчлен, который можно разложить на множители. Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16.

Корни уравнения определяются по формуле:

x1,2 = (14 ± √D) / 2a = (14 ± 4) / 2.

Таким образом, корни:

• x1 = (14 + 4) / 2 = 9
• x2 = (14 - 4) / 2 = 5

Итак, выражение x^2 - 14x + 45 можно записать как (x - 5)(x - 9).

Теперь нам нужно определить, в каком интервале находится x = 6:

• При x < 5: выражение под модулем положительное.
• При 5 < x < 9: выражение под модулем отрицательное.
• При x > 9: выражение под модулем положительное.

Так как 6 находится между 5 и 9, то x^2 - 14x + 45 < 0, и мы можем записать:

f(x) = -(x^2 - 14x + 45) = -x^2 + 14x - 45.

Теперь найдем производную f(x):

f'(x) = d/dx (-x^2 + 14x - 45) = -2x + 14.

Теперь подставим x = 6 в производную:

f'(6) = -2(6) + 14 = -12 + 14 = 2.

Таким образом, f'(6) = 2.