Как вычислить интеграл:

∫(2 + 3x²)² dx от 0 до 1?

Алгебра 11 класс Интегралы вычислить интеграл интеграл от 0 до 1 интеграл (2 + 3x²)² алгебра 11 класс методы интегрирования Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫(2 + 3x²)² dx от 0 до 1, нам нужно сначала упростить выражение под интегралом. Давайте разберем шаги решения:

1. Раскроем скобки: Нам нужно упростить (2 + 3x²)². Это можно сделать по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b², где a = 2 и b = 3x².
2. Применим формулу:
• a² = 2² = 4
• 2ab = 2 * 2 * 3x² = 12x²
• b² = (3x²)² = 9x⁴
3. Теперь соберем все вместе:
• (2 + 3x²)² = 4 + 12x² + 9x⁴

Теперь мы можем переписать наш интеграл:

∫(2 + 3x²)² dx от 0 до 1 = ∫(4 + 12x² + 9x⁴) dx от 0 до 1.

1. Вычислим интеграл: Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:
• ∫4 dx = 4x
• ∫12x² dx = 12 * (x³/3) = 4x³
• ∫9x⁴ dx = 9 * (x⁵/5) = (9/5)x⁵

Теперь запишем полный интеграл:

∫(4 + 12x² + 9x⁴) dx = 4x + 4x³ + (9/5)x⁵ + C, где C - константа интегрирования.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

1. Подставляем верхний предел:
• 4(1) + 4(1)³ + (9/5)(1)⁵ = 4 + 4 + (9/5) = 8 + 9/5 = 40/5 + 9/5 = 49/5.
2. Подставляем нижний предел:
• 4(0) + 4(0)³ + (9/5)(0)⁵ = 0.

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

∫(2 + 3x²)² dx от 0 до 1 = (49/5) - 0 = 49/5.

Ответ: Значение интеграла ∫(2 + 3x²)² dx от 0 до 1 равно 49/5.