Как вычислить интеграл: ∫(сверху 3)(снизу 0) (2x^3 + 10x)dx?

Алгебра 11 класс Интегралы интеграл вычисление интеграла алгебра 11 класс определенный интеграл интегралы 11 класс Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫(сверху 3)(снизу 0) (2x^3 + 10x)dx, следуйте следующим шагам:

1. Найдите неопределенный интеграл функции. Мы начнем с нахождения первообразной для функции 2x^3 + 10x. Для этого воспользуемся правилом интегрирования для степенных функций:
• Интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1), где n ≠ -1.

Таким образом, для каждого члена:

• Интеграл от 2x^3 равен (2/4)x^4 = (1/2)x^4.
• Интеграл от 10x равен (10/2)x^2 = 5x^2.

Теперь, складывая все вместе, получаем:

∫(2x^3 + 10x)dx = (1/2)x^4 + 5x^2 + C, где C - произвольная константа интегрирования.

2. Вычислите определенный интеграл. Теперь, когда у нас есть первообразная, мы можем вычислить определенный интеграл от 0 до 3. Для этого подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

F(x) = (1/2)x^4 + 5x^2.

Теперь подставим верхний предел (3):

• F(3) = (1/2)(3^4) + 5(3^2) = (1/2)(81) + 5(9) = 40.5 + 45 = 85.5.

Теперь подставим нижний предел (0):

• F(0) = (1/2)(0^4) + 5(0^2) = 0 + 0 = 0.
3. Вычислите разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах:

Теперь мы можем найти значение определенного интеграла:

∫(сверху 3)(снизу 0) (2x^3 + 10x)dx = F(3) - F(0) = 85.5 - 0 = 85.5.

Ответ: Значение интеграла ∫(сверху 3)(снизу 0) (2x^3 + 10x)dx равно 85.5.