Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 - 4x и y = x, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Для этого приравняем уравнения двух функций:

1. y = -x^2 - 4x
2. y = x

Приравниваем их:

-x^2 - 4x = x

Переносим все в одну сторону:

-x^2 - 4x - x = 0

-x^2 - 5x = 0

Вынесем -x за скобки:

-x(x + 5) = 0

Теперь решим это уравнение:

• x = 0
• x + 5 = 0 → x = -5

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 0 и x = -5.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми, можно найти, вычислив интеграл от разности верхней и нижней функций на интервале от -5 до 0.

На этом интервале верхняя функция - это y = x, а нижняя - y = -x^2 - 4x.

Формула для площади S будет выглядеть так:

S = ∫[от -5 до 0] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Подставим наши функции:

S = ∫[от -5 до 0] (x - (-x^2 - 4x)) dx

Упрощаем выражение:

S = ∫[от -5 до 0] (x + x^2 + 4x) dx

S = ∫[от -5 до 0] (x^2 + 5x) dx

Теперь вычислим интеграл:

∫(x^2 + 5x) dx = (1/3)x^3 + (5/2)x^2

Теперь подставим пределы интегрирования от -5 до 0:

S = [(1/3)(0)^3 + (5/2)(0)^2] - [(1/3)(-5)^3 + (5/2)(-5)^2]

S = [0] - [(1/3)(-125) + (5/2)(25)]

S = 0 - [-125/3 + 125/2]

Теперь найдем общий знаменатель для дробей:

125/2 = 375/6 и 125/3 = 250/6, поэтому:

S = 0 - [-250/6 + 375/6] = 0 - [125/6] = 125/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 - 4x и y = x, равна 125/6.