Похожие вопросы
2025-09-02 22:24:40
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x² и y=4x, предварительно сделав рисунок?
Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры линии y=x² линии y=4x вычисление площади график функций алгебра 11 класс интегралы ограниченные области рисунок функции математические задачи
2025-09-02 22:24:56
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = 4x, сначала нужно найти точки их пересечения. Это поможет определить границы интегрирования. Давайте разберем процесс шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривыхДля этого приравняем уравнения:
- y = x²
- y = 4x
Приравняем их:
x² = 4x
Переносим все в одну сторону:
x² - 4x = 0
Вынесем x за скобки:
x(x - 4) = 0
Таким образом, получаем два решения:
- x = 0
- x = 4
Теперь мы знаем, что кривые пересекаются в точках (0, 0) и (4, 16).
Шаг 2: Построим графикНа графике у нас будет парабола y = x² и прямая y = 4x. Парабола открыта вверх, а прямая имеет положительный наклон. Точки пересечения (0, 0) и (4, 16) помогут нам определить область, которую мы будем интегрировать.
Шаг 3: Найдем площадь фигурыПлощадь между кривыми можно найти, вычислив определенный интеграл от разности функций на интервале от 0 до 4:
Площадь S = ∫[0, 4] (4x - x²) dx
Шаг 4: Вычислим интегралТеперь мы можем вычислить интеграл:
- Интегрируем 4x: ∫4x dx = 2x²
- Интегрируем x²: ∫x² dx = (1/3)x³
Теперь подставим пределы интегрирования:
S = [2x² - (1/3)x³] от 0 до 4
Подставляем верхний предел:
S(4) = 2(4)² - (1/3)(4)³ = 2(16) - (1/3)(64) = 32 - (64/3) = 32 - 21.33 = 10.67
Теперь подставим нижний предел (он будет равен 0, так что его значение не изменит результат):
S(0) = 2(0)² - (1/3)(0)³ = 0
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми, равна:
S = 10.67
Ответ:Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4x, равна 10.67 квадратных единиц.