Как вычислить производную f’(x0) для следующих функций:

1. f(x)=(x^6+x)^3 -15 при x0=1
2. f(x)=sin^2(x-П/4)+cosx при x0=П/4

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная f’(x0) алгебра 11 класс функции производные функций Новый

Чтобы вычислить производную функции в заданной точке, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Для функции f(x) = (x^6 + x)^3 - 15 при x0 = 1:

1. Сначала найдем производную f'(x). Мы применим правило дифференцирования сложной функции (правило Лейбница).
2. Обозначим u = x^6 + x. Тогда f(x) = u^3 - 15.
3. Найдём производную u:
   • u' = d/dx (x^6 + x) = 6x^5 + 1.
4. Теперь применим правило производной сложной функции:
   • f'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^6 + x)^2 * (6x^5 + 1).
5. Теперь подставим x0 = 1 в производную:
   • u(1) = 1^6 + 1 = 2.
   • u'(1) = 6 * 1^5 + 1 = 7.
   • f'(1) = 3 * (2^2) * 7 = 3 * 4 * 7 = 84.

Таким образом, f'(1) = 84.

2. Для функции f(x) = sin^2(x - П/4) + cos(x) при x0 = П/4:

1. Сначала найдем производную f'(x). Используем правило производной суммы и производную произведения.
2. Для sin^2(x - П/4) применим правило цепочки:
   • Обозначим v = x - П/4, тогда sin^2(v) = (sin(v))^2.
   • Используя правило производной произведения, f'(x) = 2sin(v) * cos(v) * v' = 2sin(x - П/4) * cos(x - П/4).
3. Теперь найдем производную cos(x):
   • d/dx(cos(x)) = -sin(x).
4. Таким образом, полная производная будет:
   • f'(x) = 2sin(x - П/4) * cos(x - П/4) - sin(x).
5. Подставим x0 = П/4 в производную:
   • sin(П/4) = √2/2, cos(П/4) = √2/2.
   • f'(П/4) = 2 * (√2/2) * (√2/2) - sin(П/4) = 2 * (1/2) - (√2/2) = 1 - (√2/2).

Таким образом, f'(П/4) = 1 - (√2/2).

В итоге, мы нашли производные:

• f'(1) = 84
• f'(П/4) = 1 - (√2/2)