Как вычислить производную функции 1 + X, делённой на корень квадратный из 1 - X?

Алгебра 11 класс Производная функции вычислить производную функция 1 + X Корень квадратный 1 - X алгебра 11 класс Новый

Чтобы вычислить производную функции f(X) = (1 + X) / sqrt(1 - X), мы будем использовать правило деления для производных. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде дроби u(X) / v(X), то производная этой функции вычисляется по формуле:

f'(X) = (u'v - uv') / v²

Где:

• u(X) = 1 + X
• v(X) = sqrt(1 - X)

Теперь давайте найдем производные u' и v'.

1. Вычисляем u':
   • u(X) = 1 + X
   • u' = 0 + 1 = 1
2. Вычисляем v':
   • v(X) = sqrt(1 - X) = (1 - X)^(1/2)
   • Используем правило производной для степенной функции: v' = (1/2)(1 - X)^(-1/2) * (-1) = -1/(2*sqrt(1 - X))

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной дроби:

f'(X) = (u'v - uv') / v²

Подставляем значения:

• u' = 1
• v = sqrt(1 - X)
• u = 1 + X
• v' = -1/(2*sqrt(1 - X))

Теперь подставляем все в формулу:

f'(X) = (1 * sqrt(1 - X) - (1 + X) * (-1/(2*sqrt(1 - X}))) / (sqrt(1 - X))^2

Упростим числитель:

f'(X) = (sqrt(1 - X) + (1 + X)/(2*sqrt(1 - X))) / (1 - X)

Теперь объединим дроби в числителе:

f'(X) = (2(1 - X) + (1 + X)) / (2*sqrt(1 - X)(1 - X))

Упрощаем числитель:

f'(X) = (2 - 2X + 1 + X) / (2*sqrt(1 - X)(1 - X))

f'(X) = (3 - X) / (2*sqrt(1 - X)(1 - X))

Таким образом, производная функции f(X) = (1 + X) / sqrt(1 - X) равна:

f'(X) = (3 - X) / (2(1 - X)^(3/2))