Как вычислить производную функции f(x)=sin^2(3x) в точке x=п/12?

Алгебра 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции f(x)=sin^2(3x) точка x=п/12 алгебра 11 класс Новый

Чтобы вычислить производную функции f(x) = sin²(3x) в точке x = π/12, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x)

Для этого воспользуемся правилом цепочки и правилом произведения. Функция f(x) = sin²(3x) может быть представлена как g(h(x)), где g(u) = u² и h(x) = sin(3x).

Шаг 2: Найдем производную g(u)

• g'(u) = 2u.

Шаг 3: Найдем производную h(x)

• h(x) = sin(3x).
• h'(x) = 3cos(3x) (по правилу производной синуса).

Шаг 4: Применим правило цепочки

Теперь мы можем найти производную f'(x) с помощью правила цепочки:

• f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
• Заменяем g'(h(x)) и h'(x):
• f'(x) = 2sin(3x) * 3cos(3x) = 6sin(3x)cos(3x).

Шаг 5: Упростим производную

Используя тригонометрическую идентичность, 2sin(a)cos(a) = sin(2a), мы можем упростить:

• f'(x) = 3sin(6x).

Шаг 6: Найдем значение производной в точке x = π/12

Теперь подставим x = π/12 в выражение для производной:

• f'(π/12) = 3sin(6 * π/12) = 3sin(π/2).
• Зная, что sin(π/2) = 1, получаем:
• f'(π/12) = 3 * 1 = 3.

Ответ:

Производная функции f(x) = sin²(3x) в точке x = π/12 равна 3.