Чтобы вычислить производную функции f(x) = sin²(3x) в точке x = π/12, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Для этого воспользуемся правилом цепочки и правилом произведения. Функция f(x) = sin²(3x) может быть представлена как g(h(x)),где g(u) = u² и h(x) = sin(3x).

• g'(u) = 2u.

• h(x) = sin(3x).
• h'(x) = 3cos(3x) (по правилу производной синуса).

Теперь мы можем найти производную f'(x) с помощью правила цепочки:

• f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).
• Заменяем g'(h(x)) и h'(x):
• f'(x) = 2sin(3x) * 3cos(3x) = 6sin(3x)cos(3x).

Используя тригонометрическую идентичность, 2sin(a)cos(a) = sin(2a),мы можем упростить:

• f'(x) = 3sin(6x).

Теперь подставим x = π/12 в выражение для производной:

• f'(π/12) = 3sin(6 * π/12) = 3sin(π/2).
• Зная, что sin(π/2) = 1, получаем:
• f'(π/12) = 3 * 1 = 3.

Производная функции f(x) = sin²(3x) в точке x = π/12 равна 3.