Как вычислить производную функции y = ln(arcsin(x))?

Алгебра 11 класс Производная функции производная функции ln(arcsin(x)) вычисление производной алгебра 11 класс функции и производные Новый

Чтобы вычислить производную функции y = ln(arcsin(x)), мы будем использовать правило производной сложной функции, а также производные элементарных функций. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Определим функции:
   • u = arcsin(x)
   • y = ln(u)
2. Найдём производную y по u:

   Используя известную формулу для производной логарифма, мы имеем:

   dy/du = 1/u

3. Теперь найдём производную u по x:

   Зная, что производная arcsin(x) равна 1/sqrt(1 - x^2), мы можем записать:

   du/dx = 1/sqrt(1 - x^2)

4. Применим правило цепочки:

   Теперь мы можем найти производную y по x, используя правило цепочки:

   dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

   Подставим найденные производные:

   dy/dx = (1/u) * (1/sqrt(1 - x^2))

5. Подставим значение u:

   Так как u = arcsin(x), подставим это значение в нашу формулу:

   dy/dx = (1/arcsin(x)) * (1/sqrt(1 - x^2))

Таким образом, производная функции y = ln(arcsin(x)) равна:

dy/dx = 1/(arcsin(x) * sqrt(1 - x^2))

Это и есть окончательный ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!