Как вычислить Sin (1/2 arctg 3/4 - 2 arccos 1/√5)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции вычислить Sin arctg arccos алгебра Тригонометрия формулы Углы математика решение задач Новый

Давай разберемся с этой задачей по шагам! Это может показаться сложным, но с правильным подходом все станет намного проще! Мы будем использовать некоторые тригонометрические свойства и формулы. Готов? Поехали!

Шаг 1: Найдем arctg 3/4

Сначала нам нужно найти значение arctg (арктангенса) 3/4. Это угол, тангенс которого равен 3/4. Обозначим этот угол как α:

• tg(α) = 3/4

Шаг 2: Найдем arccos 1/√5

Теперь находим arccos (арккосинус) 1/√5. Обозначим этот угол как β:

• cos(β) = 1/√5

Шаг 3: Применим формулы

Теперь мы можем использовать формулы для вычисления синуса суммы и разности углов:

• sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

Шаг 4: Найдем sin(α) и cos(α)

Так как tg(α) = 3/4, мы можем найти sin(α) и cos(α) с помощью теоремы Пифагора:

• sin(α) = 3/5
• cos(α) = 4/5

Шаг 5: Найдем sin(β) и cos(β)

Теперь найдем sin(β) с использованием cos(β):

• cos(β) = 1/√5
• sin(β) = √(1 - (1/√5)²) = √(4/5) = 2/√5

Шаг 6: Подставим в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу для sin(α - β):

• sin(α - β) = (3/5)(1/√5) - (4/5)(2/√5)

Шаг 7: Упрощаем выражение

Упрощаем:

• sin(α - β) = 3/5√5 - 8/5√5 = -5/5√5 = -1/√5

Шаг 8: Найдем sin(1/2 * (α - β))

Теперь нам нужно найти sin(1/2 * (α - β)). Используем формулу синуса половинного угла:

• sin(1/2 * θ) = √((1 - cos(θ))/2)

Шаг 9: Найдем cos(α - β)

Для этого нам нужно найти cos(α - β):

• cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

Шаг 10: Подставляем значения

Подставим значения и упростим:

• cos(α - β) = (4/5)(1/√5) + (3/5)(2/√5) = 4/5√5 + 6/5√5 = 10/5√5 = 2/√5

Шаг 11: Подставляем в формулу синуса половинного угла

Теперь подставляем в формулу:

• sin(1/2 * (α - β)) = √((1 - 2/√5)/2)

Шаг 12: Упрощаем

Упрощаем это выражение, и ты получишь окончательный ответ!

Не бойся, если что-то не понятно! Главное – это практика и уверенность в своих силах! Удачи в решении задач по тригонометрии! Ты справишься!