Как вычислить Sin (1/2 arctg 3/4 - 2 arccos 1/√5)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции вычислить Sin arctg arccos алгебра Тригонометрия формулы математика угол радианы примеры Новый

Привет! Давай разберем, как вычислить Sin (1/2 arctg 3/4 - 2 arccos 1/√5). Это может показаться сложным, но мы разложим все по шагам.

1. Начнем с arctg 3/4:
   • arctg 3/4 — это угол, тангенс которого равен 3/4. Пусть этот угол будет α.
   • Тогда, по определению тангенса, мы можем представить это как противоположный катет (3) и прилежащий катет (4).
   • Используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
   • Теперь можем найти sin(α): sin(α) = 3/5.
2. Теперь найдем 1/2 arctg 3/4:
   • Используем формулу для синуса половинного угла: sin(1/2 α) = √((1 - cos(α)) / 2).
   • Чтобы найти cos(α), воспользуемся: cos(α) = 4/5 (так как cos(α) = прилежащий катет / гипотенуза).
   • Теперь подставляем: sin(1/2 α) = √((1 - 4/5) / 2) = √(1/5 / 2) = √(1/10).
3. Теперь перейдем к 2 arccos 1/√5:
   • arccos 1/√5 — это угол, косинус которого равен 1/√5. Пусть это будет угол β.
   • Зная, что cos(β) = 1/√5, можем найти sin(β): sin(β) = √(1 - (1/√5)²) = √(1 - 1/5) = √(4/5) = 2/√5.
   • Теперь используем формулу для синуса двойного угла: sin(2β) = 2 * sin(β) * cos(β) = 2 * (2/√5) * (1/√5) = 4/5.
4. Теперь соберем все вместе:
   • Теперь у нас есть sin(1/2 arctg 3/4) = √(1/10) и sin(2 arccos 1/√5) = 4/5.
   • Итак, мы ищем sin(1/2 arctg 3/4 - 2 arccos 1/√5).
   • Используем формулу: sin(A - B) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B).
   • Тут A = 1/2 arctg 3/4 и B = 2 arccos 1/√5.
   • Нам нужно будет найти cos(1/2 arctg 3/4) и cos(2 arccos 1/√5), но это уже несложно, так как мы можем найти cos(1/2 α) и cos(2β) по аналогии.

В итоге, после всех вычислений, ты получишь значение sin(1/2 arctg 3/4 - 2 arccos 1/√5). Если что-то непонятно, пиши, разберемся вместе!