Каким образом можно проанализировать функцию и построить ее график F(x) = 1/2x^2 - 1/5x^5?

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков анализ функции построение графика алгебра 11 класс F(x) = 1/2x^2 - 1/5x^5 функции и графики математический анализ алгебраические функции Новый

Чтобы проанализировать функцию F(x) = (1/2)x^2 - (1/5)x^5 и построить ее график, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения:

   Функция F(x) является многочленом, следовательно, ее область определения - это все действительные числа, то есть x ∈ R.

2. Нахождение производной:

   Для анализа функции важно найти ее производную F'(x). Производная поможет нам определить точки экстремума (максимумы и минимумы) и интервалы возрастания и убывания.

   Находим производную:

   • F'(x) = d/dx [(1/2)x^2] - d/dx [(1/5)x^5]
   • F'(x) = (1/2) * 2x - (1/5) * 5x^4
   • F'(x) = x - x^4
3. Нахождение критических точек:

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует.

   Решим уравнение F'(x) = 0:

   • x - x^4 = 0
   • x(1 - x^3) = 0
   • Это уравнение имеет решения: x = 0 и x^3 = 1, т.е. x = 1.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1.

4. Анализ знаков производной:

   Теперь проанализируем знак производной F'(x) на интервалах, определяемых критическими точками:

   • Интервал (-∞, 0): F'(x) > 0 (функция возрастает)
   • Интервал (0, 1): F'(x) < 0 (функция убывает)
   • Интервал (1, +∞): F'(x) < 0 (функция убывает)

   Таким образом, у нас есть максимум в точке x = 0 и минимум в точке x = 1.

5. Нахождение значений функции в критических точках:

   Теперь подставим критические точки в функцию F(x):

   • F(0) = (1/2)(0)^2 - (1/5)(0)^5 = 0
   • F(1) = (1/2)(1)^2 - (1/5)(1)^5 = (1/2) - (1/5) = (5/10) - (2/10) = 3/10
6. Определение поведения функции на границах:

   Теперь рассмотрим поведение функции при x → ±∞:

   • При x → +∞, F(x) → -∞ (так как доминирующий член - (1/5)x^5).
   • При x → -∞, F(x) → -∞ (также из-за доминирующего члена).
7. Построение графика:

   Теперь мы можем построить график функции, основываясь на полученных данных:

   • Максимум в точке (0, 0).
   • Минимум в точке (1, 3/10).
   • Функция убывает на интервалах (0, 1) и (1, +∞).
   • Функция возрастает на интервале (-∞, 0).
   • Функция стремится к -∞ при x → ±∞.

После выполнения всех этих шагов мы можем с уверенностью построить график функции F(x) и проанализировать ее поведение.