Для исследования функции y = x³ - 3x² + 2 и построения ее графика, следуйте следующим шагам:

Функция y = x³ - 3x² + 2 является многочленом, и область определения для многочленов — это все действительные числа. То есть, область определения: x ∈ R.

Для исследования функции необходимо найти ее производную, чтобы определить критические точки и интервалы возрастания и убывания.

1. Найдите первую производную функции:
2. y' = 3x² - 6x.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует.

1. Решите уравнение 3x² - 6x = 0:
2. 3x(x - 2) = 0.
3. Отсюда x = 0 и x = 2. Это наши критические точки.

Теперь нужно определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал (-∞, 0): возьмем тестовую точку, например, x = -1. Подставляем в производную: 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 (функция возрастает).
• Интервал (0, 2): возьмем тестовую точку, например, x = 1. Подставляем: 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 (функция убывает).
• Интервал (2, +∞): возьмем тестовую точку, например, x = 3. Подставляем: 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 (функция возрастает).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

1. y(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2.
2. y(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить точки перегиба:

1. y'' = 6x - 6.
2. Решаем уравнение 6x - 6 = 0: x = 1.

Теперь исследуем знак второй производной на интервалах:

• Интервал (-∞, 1): например, x = 0, y''(0) = -6 < 0 (выпуклая вниз).
• Интервал (1, +∞): например, x = 2, y''(2) = 6 > 0 (выпуклая вверх).

Теперь, имея все данные, можно построить график:

• Критические точки: (0, 2) - максимум, (2, -2) - минимум.
• Точка перегиба: (1, y(1)) = (1, 0).
• Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0, 2).

С учетом всех этих данных вы сможете построить график функции, который будет выглядеть как кривая с максимумом в точке (0, 2), минимумом в точке (2, -2) и точкой перегиба в (1, 0).