Какое количество членов в геометрической прогрессии, если выполняются следующие условия: сумма второго и третьего членов равна 18, разность четвертого и второго членов равна 18, а сумма первых n членов равна 93?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия количество членов сумма членов алгебра 11 класс условия задачи разность членов решение задачи Новый

Чтобы найти количество членов в геометрической прогрессии, давайте обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q.

Члены геометрической прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq²
• Четвертый член: aq³

Теперь, согласно условиям задачи, у нас есть три уравнения:

1. Сумма второго и третьего членов равна 18:
aq + aq² = 18
2. Разность четвертого и второго членов равна 18:
aq³ - aq = 18
3. Сумма первых n членов равна 93:
S_n = a(1 - q^n) / (1 - q) = 93 (где S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии)

Теперь давайте упростим первое уравнение:

aq(1 + q) = 18

Отсюда мы можем выразить aq:

aq = 18 / (1 + q)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

aq³ - aq = 18 можно записать как aq(q² - 1) = 18.

Подставим значение aq из первого уравнения:

(18 / (1 + q))(q² - 1) = 18

Упростим это уравнение:

18(q² - 1) = 18(1 + q)

Сократим на 18:

q² - 1 = 1 + q

Переносим все в одну сторону:

q² - q - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней:

q = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставим значения:

q = (1 ± √((-1)² - 41(-2))) / (2*1)

q = (1 ± √(1 + 8)) / 2

q = (1 ± 3) / 2

Таким образом, у нас два возможных значения для q:

• q = 2
• q = -1

Теперь подставим q обратно в первое уравнение, чтобы найти a:

Для q = 2:

aq = 18 / (1 + 2) = 18 / 3 = 6

Тогда a = 6 / q = 6 / 2 = 3

Теперь найдем количество членов n. Подставим a и q в формулу суммы:

S_n = 3(1 - 2^n) / (1 - 2) = 93

-3(1 - 2^n) = 93

1 - 2^n = -31

2^n = 32

n = 5

Таким образом, количество членов в геометрической прогрессии равно 5.