Какое количество членов в геометрической прогрессии, если выполняются условия: b2 + b3 = 18, b4 - b2 = 18 и Sn = 93?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия количество членов условия прогрессии алгебра 11 класс задача по алгебре Новый

Для решения данной задачи давайте сначала обозначим первый член геометрической прогрессии как b1 = a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• b2 = a * q
• b3 = a * q^2
• b4 = a * q^3

Теперь подставим эти выражения в данные условия:

1. Из условия b2 + b3 = 18 получаем:

a * q + a * q^2 = 18

Можно вынести a * q за скобки:

a * q (1 + q) = 18

2. Из условия b4 - b2 = 18 получаем:

a * q^3 - a * q = 18

Вынесем a * q за скобки:

a * q (q^2 - 1) = 18

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• a * q (1 + q) = 18
• a * q (q^2 - 1) = 18

Поскольку обе левые части равны 18, мы можем приравнять их:

a * q (1 + q) = a * q (q^2 - 1)

Если a * q ≠ 0, то мы можем разделить обе стороны на a * q:

1 + q = q^2 - 1

Теперь приведем уравнение к стандартному виду:

q^2 - q - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Теперь находим корни:

q1 = (1 + 3) / 2 = 2

q2 = (1 - 3) / 2 = -1

Мы получили два значения для q: q = 2 и q = -1. Теперь подставим одно из значений обратно, чтобы найти a.

Возьмем q = 2: подставим в первое уравнение:

a * 2 (1 + 2) = 18

a * 2 * 3 = 18

6a = 18

a = 3

Теперь у нас есть первый член: a = 3 и знаменатель q = 2. Члены прогрессии будут:

• b1 = 3
• b2 = 6
• b3 = 12
• b4 = 24

Теперь найдем количество членов прогрессии, используя условие Sn = 93. Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q) (если q ≠ 1).

Подставим известные значения:

93 = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2)

Упростим уравнение:

93 = 3 * (1 - 2^n) / (-1)

-93 = 3 * (1 - 2^n)

-31 = 1 - 2^n

2^n = 32

Таким образом, n = 5, так как 2^5 = 32.

Итак, количество членов в геометрической прогрессии, удовлетворяющих данным условиям, равно 5.