Какое количество корней у уравнения sin(п-x)-cos(п/2+x)=корень из 3 на интервале [-п;2п]?

Будьте добры, подробно объясните решение) Заранее благодарю)

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение sin(п-x) количество корней интервал [-п;2п] решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции Новый

Для решения уравнения sin(π - x) - cos(π/2 + x) = √3 на интервале [-π; 2π] начнем с упрощения левой части уравнения.

Шаг 1: Упрощение тригонометрических функций

• Мы знаем, что sin(π - x) = sin(x), так как синус является четной функцией.
• Также cos(π/2 + x) = -sin(x) по свойствам тригонометрических функций.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

sin(x) - (-sin(x)) = √3

или

sin(x) + sin(x) = √3

что упрощается до:

2sin(x) = √3

Шаг 2: Найдем sin(x)

Теперь выразим sin(x):

sin(x) = √3 / 2

Шаг 3: Найдем корни уравнения

Значение sin(x) = √3 / 2 достигается в следующих углах:

• x = π/3 + 2kπ, где k - целое число;
• x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 4: Найдем корни на заданном интервале [-π; 2π]

Теперь найдем все значения x на интервале [-π; 2π].

Для x = π/3:

• k = 0: x = π/3 (принадлежит интервалу);
• k = -1: x = π/3 - 2π = π/3 - 6π/3 = -5π/3 (не принадлежит интервалу);
• k = 1: x = π/3 + 2π = π/3 + 6π/3 = 7π/3 (не принадлежит интервалу).

Для x = 2π/3:

• k = 0: x = 2π/3 (принадлежит интервалу);
• k = -1: x = 2π/3 - 2π = 2π/3 - 6π/3 = -4π/3 (принадлежит интервалу);
• k = 1: x = 2π/3 + 2π = 2π/3 + 6π/3 = 8π/3 (не принадлежит интервалу).

Шаг 5: Подсчет корней

Таким образом, на интервале [-π; 2π] мы имеем следующие корни:

• x = π/3;
• x = 2π/3;
• x = -4π/3.

Итак, всего у нас 3 корня уравнения.

Ответ: У уравнения sin(π - x) - cos(π/2 + x) = √3 на интервале [-π; 2π] 3 корня.