Какое максимальное значение принимает функция y=sin^2x+2cosx+3?

Алгебра 11 класс Максимум и минимум функций максимальное значение функции y=sin^2x+2cosx+3 алгебра 11 класс решение задачи по алгебре тригонометрические функции Новый

Чтобы найти максимальное значение функции y = sin^2(x) + 2cos(x) + 3, начнем с преобразования функции и определения её критических точек.

1. Заменим sin^2(x) с помощью тригонометрической идентичности:

• sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Таким образом, функция y может быть переписана как:

y = (1 - cos^2(x)) + 2cos(x) + 3.

y = -cos^2(x) + 2cos(x) + 4.

2. Теперь обозначим z = cos(x). Тогда y можно записать как:

y = -z^2 + 2z + 4.

3. Это квадратное уравнение имеет вид:

y = -z^2 + 2z + 4.

4. Чтобы найти максимум этой функции, воспользуемся формулой для нахождения координаты вершины параболы, заданной уравнением y = az^2 + bz + c. Вершина параболы находится по формуле z = -b/(2a), где a = -1 и b = 2:

z = -2 / (2 * -1) = 1.

5. Теперь подставим найденное значение z обратно в уравнение y:

y = -1^2 + 2*1 + 4 = -1 + 2 + 4 = 5.

6. Но не забудем, что z = cos(x), а значение cos(x) может принимать значения от -1 до 1. Поскольку z = 1 находится в пределах допустимого диапазона, мы можем утверждать, что это максимум.

Таким образом, максимальное значение функции y = sin^2(x) + 2cos(x) + 3 равно:

5.