Каковы максимальное и минимальное значения для следующего выражения: а) 3 sin x + 4 cos x;

Алгебра 11 класс Максимум и минимум функций максимальные значения минимальные значения алгебра 11 тригонометрические функции 3 sin x + 4 cos x Новый

Чтобы найти максимальные и минимальные значения выражения 3 sin x + 4 cos x, мы можем воспользоваться методом приведения к стандартному виду.

Сначала запишем выражение в виде R sin(x + φ), где R - это амплитуда, а φ - сдвиг по фазе. Для этого найдем R:

• R = √(a² + b²), где a = 3 и b = 4.
• Подставляем значения: R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь найдем угол φ:

• tan φ = b/a = 4/3.
• Это значит, что φ = arctan(4/3).

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + φ).

Известно, что функция sin колеблется в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, максимальное значение 5 sin(x + φ) будет равно:

• max = 5 * 1 = 5.

А минимальное значение будет:

• min = 5 * (-1) = -5.

Таким образом, максимальное значение выражения 3 sin x + 4 cos x равно 5, а минимальное значение равно -5.