Чтобы решить неравенство (x+5)⁶(x-3)⁵(x+2)³(x-1)²x ≥ 0, давайте сначала определим, при каких значениях x выражение будет равно нулю, а затем проанализируем знаки выражения на интервалах, образованных этими значениями.

Корни данного выражения находятся при равенстве каждого множителя нулю:

• (x + 5)⁶ = 0 → x = -5
• (x - 3)⁵ = 0 → x = 3
• (x + 2)³ = 0 → x = -2
• (x - 1)² = 0 → x = 1
• x = 0

Таким образом, корни выражения: x = -5, -2, 0, 1, 3.

Теперь мы определим интервалы, на которых будем исследовать знак выражения:

• (-∞, -5)
• (-5, -2)
• (-2, 0)
• (0, 1)
• (1, 3)
• (3, +∞)

Теперь мы будем проверять знак выражения на каждом из интервалов, выбирая тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -5), например, x = -6:
  • (-6 + 5)⁶ < 0, (−6 - 3)⁵ < 0, (−6 + 2)³ < 0, (−6 - 1)² > 0, (−6) < 0.
  • Произведение: (-)(-)(-)(+)(-) = + (положительное).
• Для интервала (-5, -2), например, x = -4:
  • (-4 + 5)⁶ > 0, (−4 - 3)⁵ < 0, (−4 + 2)³ < 0, (−4 - 1)² > 0, (−4) < 0.
  • Произведение: (+)(-)(-)(+)(-) = + (положительное).
• Для интервала (-2, 0), например, x = -1:
  • (-1 + 5)⁶ > 0, (−1 - 3)⁵ < 0, (−1 + 2)³ > 0, (−1 - 1)² > 0, (−1) < 0.
  • Произведение: (+)(-)(+)(+)(-) = - (отрицательное).
• Для интервала (0, 1), например, x = 0.5:
  • (0.5 + 5)⁶ > 0, (0.5 - 3)⁵ < 0, (0.5 + 2)³ > 0, (0.5 - 1)² > 0, (0.5) > 0.
  • Произведение: (+)(-)(+)(+)(+) = - (отрицательное).
• Для интервала (1, 3), например, x = 2:
  • (2 + 5)⁶ > 0, (2 - 3)⁵ < 0, (2 + 2)³ > 0, (2 - 1)² > 0, (2) > 0.
  • Произведение: (+)(-)(+)(+)(+) = - (отрицательное).
• Для интервала (3, +∞), например, x = 4:
  • (4 + 5)⁶ > 0, (4 - 3)⁵ > 0, (4 + 2)³ > 0, (4 - 1)² > 0, (4) > 0.
  • Произведение: (+)(+)(+)(+)(+) = + (положительное).

Теперь мы знаем, что:

• (-∞, -5) → положительное
• (-5, -2) → положительное
• (-2, 0) → отрицательное
• (0, 1) → отрицательное
• (1, 3) → отрицательное
• (3, +∞) → положительное

Поскольку нам нужно неравенство ≥ 0, мы принимаем:

• x = -5 (нулевое значение)
• (-∞, -5) и (-5, -2) (положительные значения)
• x = 3 (нулевое значение)
• (3, +∞) (положительные значения)

Теперь нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству. Это число -5, так как оно является корнем и принадлежит множеству решений.

-5