Решим неравенство (x-5)² / (x²+x-20) ≤ 0 шаг за шагом.

1. Определим область определения. Для начала найдем, когда знаменатель равен нулю, так как в этих точках неравенство будет неопределено. Знаменатель равен нулю, когда:

• x² + x - 20 = 0.

2. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81.

Теперь находим корни:

• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-1 + 9) / 2 = 4,
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-1 - 9) / 2 = -5.

Таким образом, знаменатель равен нулю в точках x = 4 и x = -5. Эти значения исключаются из области определения.

3. Найдем нули числителя. Числитель равен нулю, когда:

• (x - 5)² = 0,

что дает x = 5.

4. Построим числовую прямую. На числовой прямой у нас есть следующие ключевые точки: -5, 4 и 5. Разделим прямую на интервалы:

• (-∞, -5),
• (-5, 4),
• (4, 5),
• (5, +∞).

5. Проверим знаки на каждом интервале. Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -5): пусть x = -6. Подставляем в неравенство: (−6−5)² / (−6²+−6−20) = 121 / (36 - 6 - 20) = 121 / 10 > 0.
• Для интервала (-5, 4): пусть x = 0. Подставляем: (0−5)² / (0²+0−20) = 25 / (0 - 20) = 25 / -20 < 0.
• Для интервала (4, 5): пусть x = 4.5. Подставляем: (4.5−5)² / (4.5²+4.5−20) = (−0.5)² / (20.25 + 4.5 - 20) = 0.25 / 4.75 > 0.
• Для интервала (5, +∞): пусть x = 6. Подставляем: (6−5)² / (6²+6−20) = 1 / (36 + 6 - 20) = 1 / 22 > 0.

6. Соберем все результаты. Мы видим, что неравенство (x-5)² / (x²+x-20) ≤ 0 выполняется в интервале (-5, 4) и в точке x = 5 (где числитель равен нулю).

7. Наименьшее целое решение. В интервале (-5, 4) наименьшее целое число - это -4. Таким образом, наименьшее целое решение неравенства:

x = -4.