Чтобы решить неравенство |2x² - 5x + 10| ≤ 13, начнем с того, что мы можем разбить его на два отдельных неравенства:

1. 2x² - 5x + 10 ≤ 13
2. 2x² - 5x + 10 ≥ -13

Теперь решим каждое из этих неравенств по отдельности.

Перепишем его:

2x² - 5x + 10 - 13 ≤ 0

Это упрощается до:

2x² - 5x - 3 ≤ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 2x² - 5x - 3 = 0 с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -5, c = -3.

Сначала найдём дискриминант:

D = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.

Теперь подставим в формулу корней:

x₁ = (5 + √49) / (2 * 2) = (5 + 7) / 4 = 3

x₂ = (5 - √49) / (2 * 2) = (5 - 7) / 4 = -0.5

Теперь мы имеем корни x₁ = 3 и x₂ = -0.5. Неравенство 2x² - 5x - 3 ≤ 0 имеет вид параболы, открытой вверх, и будет меньше или равно нулю между корнями:

-0.5 ≤ x ≤ 3.

Перепишем его:

2x² - 5x + 10 + 13 ≥ 0

Это упрощается до:

2x² - 5x + 23 ≥ 0.

Теперь найдем дискриминант для этого уравнения:

D = (-5)² - 4 * 2 * 23 = 25 - 184 = -159.

Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. Парабола 2x² - 5x + 23 открыта вверх и всегда положительна. Следовательно, неравенство 2x² - 5x + 23 ≥ 0 выполняется для всех x.

Теперь объединим результаты:

Неравенство |2x² - 5x + 10| ≤ 13 выполняется, когда:

-0.5 ≤ x ≤ 3.

Определим целые числа в этом интервале:

• -0.5 (не целое)
• 0 (целое)
• 1 (целое)
• 2 (целое)
• 3 (целое)

Таким образом, целые решения: 0, 1, 2, 3. Всего 4 целых решения.

Наибольшее целое решение в этом интервале равно 3.

Наибольшее решение = 3, количество целых решений = 4.

Произведение = 3 * 4 = 12.

Ответ: Произведение наибольшего решения и количества целых решений равно 12.