Для решения неравенства ((x-2)² + 4x - 53)(x + 7) / (x - 5) ≤ 0, начнем с упрощения выражения в числителе.

1. Раскроем скобки в (x-2)²:

• (x-2)² = x² - 4x + 4.

2. Подставим это в выражение:

• (x² - 4x + 4) + 4x - 53 = x² - 49 = (x - 7)(x + 7).

Теперь подставим это обратно в неравенство:

((x - 7)(x + 7))(x + 7) / (x - 5) ≤ 0.

3. Упростим выражение:

• Получаем ((x - 7)(x + 7)²) / (x - 5) ≤ 0.

4. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Нули числителя: x - 7 = 0, x + 7 = 0. То есть x = 7 и x = -7.
• Ноль знаменателя: x - 5 = 0. То есть x = 5.

5. Теперь определим знаки выражения на интервалах, образованных найденными значениями:

• Интервалы: (-∞, -7), (-7, 5), (5, 7), (7, +∞).

6. Проверим знак на каждом интервале:

• Для x < -7: (x - 7) < 0, (x + 7)² > 0, (x - 5) < 0 → выражение > 0.
• Для -7 < x < 5: (x - 7) < 0, (x + 7)² > 0, (x - 5) < 0 → выражение < 0.
• Для 5 < x < 7: (x - 7) < 0, (x + 7)² > 0, (x - 5) > 0 → выражение < 0.
• Для x > 7: (x - 7) > 0, (x + 7)² > 0, (x - 5) > 0 → выражение > 0.

7. Теперь определим, где выражение меньше или равно нулю:

• Выражение ≤ 0 на интервалах: [-7, 5) и (5, 7].

8. Теперь найдем целые решения:

• На интервале [-7, 5) целые числа: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
• На интервале (5, 7] целые числа: 6, 7.

9. Перечислим все целые решения:

• -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7.

10. Найдем количество целых решений:

• Всего 14 целых решений.

11. Теперь найдем наименьшее целое решение:

• Наименьшее целое решение: -7.

12. Наконец, произведение наименьшего целого решения и количества целых решений:

• Произведение = -7 * 14 = -98.

Ответ: -98.