Похожие вопросы
2025-09-11 13:55:42
Какое значение имеет производная функции f(x) в точке x0 для следующих случаев:
- f(x) = 3√(2x) - 5/x + 3x - 2, x0 = 1;
- f(x) = (3x + 4)² + 6/(x + 1), x0 = -2;
- f(x) = sin(3x - 2π) + 3π, x0 = π/3;
- f(x) = cos(2x - π) - 2π, x0 = π/4.
Алгебра 11 класс Производная функции производная функции значение производной алгебра 11 класс вычисление производной функции и производные задачи на производную алгебраические функции производная в точке примеры производных функции f(x)
2025-09-11 13:56:32
Чтобы найти значение производной функции f(x) в точке x0, нам нужно выполнить несколько шагов. Сначала мы найдем производную функции, а затем подставим значение x0 в найденную производную. Давайте рассмотрим каждый случай отдельно.
1. f(x) = 3√(2x) - 5/x + 3x - 2, x0 = 1- Сначала найдем производную f'(x). Для этого используем правила дифференцирования:
- Производная 3√(2x) = (3/2)(2x)^(-2/3) * 2 = x^(-2/3)
- Производная -5/x = 5/x^2
- Производная 3x = 3
- Производная -2 = 0
- Теперь сложим все найденные производные:
- Теперь подставим x0 = 1:
f'(x) = (1/3)(2x)^(-2/3) + 5/x^2 + 3
f'(1) = (1/3)(2*1)^(-2/3) + 5/(1^2) + 3 = (1/3)(2^(-2/3)) + 5 + 3 = (1/3)(1/√(4)) + 5 + 3 = (1/3)(1/2) + 5 + 3 = 1/6 + 5 + 3 = 8 + 1/6 = 49/6
- Найдем производную f'(x):
- Производная (3x + 4)² = 2(3x + 4) * 3 = 6(3x + 4)
- Производная 6/(x + 1) = -6/(x + 1)²
- Теперь сложим:
- Подставим x0 = -2:
f'(x) = 6(3x + 4) - 6/(x + 1)²
f'(-2) = 6(3*(-2) + 4) - 6/((-2 + 1)²) = 6(-6 + 4) - 6/1 = 6*(-2) - 6 = -12 - 6 = -18
- Найдем производную f'(x):
- Производная sin(3x - 2π) = cos(3x - 2π) * 3 = 3cos(3x - 2π)
- Производная 3π = 0
- Таким образом, f'(x) = 3cos(3x - 2π)
- Подставим x0 = π/3:
f'(π/3) = 3cos(3*(π/3) - 2π) = 3cos(π - 2π) = 3cos(-π) = 3*(-1) = -3
- Найдем производную f'(x):
- Производная cos(2x - π) = -sin(2x - π) * 2 = -2sin(2x - π)
- Производная -2π = 0
- Таким образом, f'(x) = -2sin(2x - π)
- Подставим x0 = π/4:
f'(π/4) = -2sin(2*(π/4) - π) = -2sin(π/2 - π) = -2sin(-π/2) = -2*(-1) = 2
Таким образом, производные в заданных точках составляют:
- f'(1) = 49/6
- f'(-2) = -18
- f'(π/3) = -3
- f'(π/4) = 2