Чтобы найти значение выражения tg²(74π/3) + ctg²(-25π/6) - 6cos(7π/3) - sin(-3π), давайте разберем каждую часть по отдельности.

• 1. Находим tg²(74π/3):
1. Первое, что нужно сделать, это упростить угол 74π/3. Мы можем вычесть 2π (или 6π/3) несколько раз, чтобы получить угол в пределах [0, 2π).
2. 74π/3 - 24π/3 = 50π/3 (вычли 8π)
3. 50π/3 - 48π/3 = 2π/3 (вычли 2π)
4. Теперь мы можем найти tg(2π/3). tg(2π/3) = -√3, следовательно, tg²(2π/3) = 3.
• 2. Находим ctg²(-25π/6):
1. Упрощаем угол -25π/6. Добавим 4π (или 24π/6) к углу: -25π/6 + 24π/6 = -π/6.
2. Теперь найдем ctg(-π/6). ctg(-π/6) = -1/tg(-π/6) = -1/(-√3) = 1/√3.
3. Следовательно, ctg²(-25π/6) = (1/√3)² = 1/3.
• 3. Находим -6cos(7π/3):
1. Упрощаем угол 7π/3. Вычтем 2π (или 6π/3): 7π/3 - 6π/3 = π/3.
2. Теперь находим cos(π/3). cos(π/3) = 1/2.
3. Следовательно, -6cos(7π/3) = -6 * 1/2 = -3.
• 4. Находим sin(-3π):
1. sin(-3π) = 0, так как синус любого кратного π равен 0.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

Теперь упрощаем:

3 + 1/3 - 3 = 1/3.

Таким образом, значение всего выражения равно 1/3. Однако, такого варианта нет среди предложенных. Давайте проверим еще раз:

tg²(74π/3) = 3, ctg²(-25π/6) = 1/3, -6cos(7π/3) = -3, sin(-3π) = 0.

Объединим:

3 + 1/3 - 3 = 1/3.

Похоже, что в расчетах я не учел, что 1/3 не является одним из предложенных вариантов ответов. Возможно, стоит проверить условия задачи или варианты ответов.

На основании проведенных вычислений, правильный ответ, согласно расчетам, равен 1/3, но его нет среди предложенных вариантов.