Чтобы найти значение выражения ctg 105 градусов, нам нужно вспомнить, что котангенс (ctg) угла является обратной функцией тангенса (tg). То есть:

ctg(α) = 1 / tg(α)

Следовательно, мы можем выразить ctg 105 градусов через тангенс:

ctg(105) = 1 / tg(105)

Теперь нам нужно найти значение tg 105 градусов. Угол 105 градусов находится во втором квадранте, где тангенс принимает отрицательные значения. Мы можем использовать следующее соотношение:

tg(180 - α) = -tg(α)

В нашем случае:

tg(105) = tg(180 - 75) = -tg(75)

Теперь нам нужно найти значение tg 75 градусов. Мы можем использовать формулу для тангенса суммы углов:

tg(α + β) = (tg(α) + tg(β)) / (1 - tg(α) * tg(β))

Здесь мы можем взять α = 45 градусов и β = 30 градусов, так как:

• tg(45) = 1
• tg(30) = 1 / √3

Теперь подставим эти значения в формулу:

tg(75) = tg(45 + 30) = (tg(45) + tg(30)) / (1 - tg(45) * tg(30))

Подставляем значения:

tg(75) = (1 + 1/√3) / (1 - 1 * (1/√3))

Теперь упростим это выражение:

• В числителе: 1 + 1/√3 = (√3 + 1) / √3
• В знаменателе: 1 - 1/√3 = (√3 - 1) / √3

Теперь делим числитель на знаменатель:

tg(75) = ((√3 + 1) / √3) / ((√3 - 1) / √3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)

Теперь подставим это значение в уравнение для ctg 105:

ctg(105) = 1 / tg(105) = 1 / (-tg(75)) = -1 / ((√3 + 1) / (√3 - 1))

Умножим на обратное:

ctg(105) = -(√3 - 1) / (√3 + 1)

Таким образом, значение выражения ctg 105 градусов будет:

ctg(105) = -(√3 - 1) / (√3 + 1)

Это значение можно оставить в таком виде или вычислить численно, если это необходимо.