Чтобы доказать, что выражение (tg альфа + 1)/(1 + ctg альфа)^2 * (1/sin^2 альфа - 1 равно 1, давайте поэтапно упростим его.

Начнем с того, что вспомним определения тангенса и котангенса:

• tg альфа = sin альфа / cos альфа
• ctg альфа = cos альфа / sin альфа

Теперь подставим эти значения в наше выражение:

1. Заменим tg альфа и ctg альфа:

(sin альфа / cos альфа + 1) / (1 + cos альфа / sin альфа)^2 * (1/sin^2 альфа - 1)

2. Упростим числитель:

sin альфа / cos альфа + 1 = (sin альфа + cos альфа) / cos альфа

3. Упростим знаменатель:

1 + cos альфа / sin альфа = (sin альфа + cos альфа) / sin альфа

Таким образом, (1 + ctg альфа)^2 = ((sin альфа + cos альфа) / sin альфа)^2 = (sin альфа + cos альфа)^2 / sin^2 альфа

Теперь подставим это обратно в выражение:

((sin альфа + cos альфа) / cos альфа) / ((sin альфа + cos альфа)^2 / sin^2 альфа) * (1/sin^2 альфа - 1)

4. Упростим дробь:

((sin альфа + cos альфа) * sin^2 альфа) / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа)^2)

5. Сократим (sin альфа + cos альфа) в числителе и знаменателе (при условии, что sin альфа + cos альфа не равно 0):

sin^2 альфа / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа))

6. Теперь упростим вторую часть выражения (1/sin^2 альфа - 1):

1/sin^2 альфа - 1 = (1 - sin^2 альфа) / sin^2 альфа = cos^2 альфа / sin^2 альфа

7. Подставим это в наше выражение:

(sin^2 альфа / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа))) * (cos^2 альфа / sin^2 альфа)

8. Сократим sin^2 альфа:

cos^2 альфа / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа)) = cos альфа / (sin альфа + cos альфа)

Таким образом, мы пришли к выражению:

cos альфа / (sin альфа + cos альфа)

9. Теперь, чтобы увидеть, что это равно 1, рассмотрим, что:

cos альфа = sin альфа + cos альфа, когда sin альфа = 0.

Следовательно, при определенных значениях альфа, выражение действительно равно 1. Однако, в общем случае, оно не всегда будет равно 1, а будет зависеть от значения альфа.

Таким образом, мы показали шаги упрощения, и выражение не всегда равно 1, но может принимать это значение при определенных условиях.