Какое значение имеет выражение (tg альфа + 1)/(1 + ctg альфа)^2 * (1/sin^2 альфа - 1)? Должно получиться 1.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции алгебра 11 класс выражение tg альфа значение выражения ctg альфа sin альфа математические преобразования тригонометрические функции Новый

Чтобы доказать, что выражение (tg альфа + 1)/(1 + ctg альфа)^2 * (1/sin^2 альфа - 1 равно 1, давайте поэтапно упростим его.

Начнем с того, что вспомним определения тангенса и котангенса:

• tg альфа = sin альфа / cos альфа
• ctg альфа = cos альфа / sin альфа

Теперь подставим эти значения в наше выражение:

1. Заменим tg альфа и ctg альфа:

(sin альфа / cos альфа + 1) / (1 + cos альфа / sin альфа)^2 * (1/sin^2 альфа - 1)

2. Упростим числитель:

sin альфа / cos альфа + 1 = (sin альфа + cos альфа) / cos альфа

3. Упростим знаменатель:

1 + cos альфа / sin альфа = (sin альфа + cos альфа) / sin альфа

Таким образом, (1 + ctg альфа)^2 = ((sin альфа + cos альфа) / sin альфа)^2 = (sin альфа + cos альфа)^2 / sin^2 альфа

Теперь подставим это обратно в выражение:

((sin альфа + cos альфа) / cos альфа) / ((sin альфа + cos альфа)^2 / sin^2 альфа) * (1/sin^2 альфа - 1)

4. Упростим дробь:

((sin альфа + cos альфа) * sin^2 альфа) / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа)^2)

5. Сократим (sin альфа + cos альфа) в числителе и знаменателе (при условии, что sin альфа + cos альфа не равно 0):

sin^2 альфа / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа))

6. Теперь упростим вторую часть выражения (1/sin^2 альфа - 1):

1/sin^2 альфа - 1 = (1 - sin^2 альфа) / sin^2 альфа = cos^2 альфа / sin^2 альфа

7. Подставим это в наше выражение:

(sin^2 альфа / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа))) * (cos^2 альфа / sin^2 альфа)

8. Сократим sin^2 альфа:

cos^2 альфа / (cos альфа * (sin альфа + cos альфа)) = cos альфа / (sin альфа + cos альфа)

Таким образом, мы пришли к выражению:

cos альфа / (sin альфа + cos альфа)

9. Теперь, чтобы увидеть, что это равно 1, рассмотрим, что:

cos альфа = sin альфа + cos альфа, когда sin альфа = 0.

Следовательно, при определенных значениях альфа, выражение действительно равно 1. Однако, в общем случае, оно не всегда будет равно 1, а будет зависеть от значения альфа.

Таким образом, мы показали шаги упрощения, и выражение не всегда равно 1, но может принимать это значение при определенных условиях.