Похожие вопросы
2025-09-03 14:09:13
Какое значение имеет выражение tg²a + ctg²a, если известно, что tga + ctga = 3?
Алгебра 11 класс Тригонометрические функции tg²a ctg2a tga ctga алгебра 11 класс тригонометрические функции значение выражения задачи по алгебре
2025-09-03 14:09:24
Чтобы найти значение выражения tg²a + ctg²a, начнем с того, что у нас есть данное условие: tga + ctga = 3.
Обозначим:
- tga = x
- ctga = 1/x
Теперь подставим эти обозначения в уравнение:
x + 1/x = 3.
Умножим обе стороны уравнения на x (при условии, что x не равно нулю):
x² + 1 = 3x.
Перепишем это уравнение в стандартной форме:
x² - 3x + 1 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- Дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4*1*1 = 9 - 4 = 5.
Корни уравнения находятся по формуле:
- x₁ = (3 + √5) / 2,
- x₂ = (3 - √5) / 2.
Теперь, чтобы найти tg²a + ctg²a, используем следующее соотношение:
tg²a + ctg²a = (tga)² + (ctga)² = x² + (1/x)².
Это выражение можно упростить:
- x² + (1/x)² = x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.
Мы уже знаем, что x + 1/x = 3, поэтому:
(x + 1/x)² = 3² = 9.
Теперь подставим это значение в уравнение:
tg²a + ctg²a = 9 - 2 = 7.
Таким образом, значение выражения tg²a + ctg²a равно 7.