Какова область определения функции f(x) = √(9 - x²) - (5x - 2) / √(x² + 3x - 4)?

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции алгебра 11 класс функции с корнями решение уравнений график функции свойства функций математический анализ алгебраические выражения квадратные корни дробно-рациональные функции Новый

Чтобы найти область определения функции f(x) = √(9 - x²) - (5x - 2) / √(x² + 3x - 4), нам нужно определить, при каких значениях x функция будет определена. Это включает в себя условия для корней и деления на ноль.

Шаг 1: Условия для корня

Первое слагаемое функции содержит квадратный корень: √(9 - x²). Чтобы этот корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

• 9 - x² ≥ 0

Решим неравенство:

• x² ≤ 9
• -3 ≤ x ≤ 3

Шаг 2: Условия для деления

Второе слагаемое функции содержит дробь, поэтому знаменатель не должен равняться нулю: √(x² + 3x - 4) ≠ 0.

Решим уравнение для знаменателя:

• x² + 3x - 4 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

Корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-3 + 5) / 2 = 1
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-3 - 5) / 2 = -4

Таким образом, дробь будет определена, если x не равен -4 и 1.

Шаг 3: Объединение условий

Теперь объединим условия:

• -3 ≤ x ≤ 3 (условие для корня)
• x ≠ -4 (условие для деления)
• x ≠ 1 (условие для деления)

Поскольку -4 не входит в интервал [-3, 3], то это условие не накладывает дополнительных ограничений. Однако, x не может равняться 1.

Итак, область определения функции:

Область определения функции f(x) = √(9 - x²) - (5x - 2) / √(x² + 3x - 4) будет:

• x ∈ [-3, 3], x ≠ 1