Чтобы найти область определения функции f(x) = lg(3x − 1) + 2lg(x + 1),нам нужно определить, при каких значениях x выражения внутри логарифмов определены и положительны, так как логарифм определен только для положительных чисел.

Рассмотрим каждое из логарифмических выражений отдельно:

1. Первый логарифм: lg(3x - 1)
   • Для этого логарифма необходимо, чтобы 3x - 1 > 0.
   • Решим неравенство: 3x - 1 > 0.
   • Добавим 1 к обеим частям: 3x > 1.
   • Теперь разделим обе части на 3: x > 1/3.
2. Второй логарифм: 2lg(x + 1)
   • Для этого логарифма необходимо, чтобы x + 1 > 0.
   • Решим неравенство: x + 1 > 0.
   • Выразим x: x > -1.

Теперь нам нужно объединить условия, полученные из обоих логарифмов:

• Первое условие: x > 1/3.
• Второе условие: x > -1.

Из этих двух условий более строгое – это x > 1/3, так как 1/3 > -1. Это означает, что область определения функции f(x) будет:

Область определения: x > 1/3.