Какова область определения функции y=log2(x^2-4)?

Алгебра 11 класс Логарифмические функции область определения функции y=log2(x^2-4) алгебра 11 класс логарифмическая функция решение задач по алгебре Новый

Чтобы найти область определения функции y = log2(x^2 - 4), необходимо учесть, что логарифм определен только для положительных значений. Это значит, что аргумент логарифма, в данном случае (x^2 - 4), должен быть больше нуля.

Следовательно, нам нужно решить неравенство:

x^2 - 4 > 0

Теперь разложим это неравенство на множители:

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Теперь мы можем решить неравенство (x - 2)(x + 2) > 0. Для этого определим нули функции:

• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 2 = 0 → x = -2

Теперь у нас есть два критических значения: x = -2 и x = 2. Эти значения разделяют числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -2)
• (-2, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак произведения (x - 2)(x + 2) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -2):
   • Выберем тестовую точку, например, x = -3:
   • (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0
2. Для интервала (-2, 2):
   • Выберем тестовую точку, например, x = 0:
   • (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0
3. Для интервала (2, +∞):
   • Выберем тестовую точку, например, x = 3:
   • (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0

Таким образом, неравенство (x - 2)(x + 2) > 0 выполняется на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞).

Теперь мы можем записать область определения функции y = log2(x^2 - 4):

Область определения: (-∞, -2) ∪ (2, +∞)