Чтобы найти область определения функции f(x) = sqrt(8/(x^2 - 9) + 1), нам нужно определить, при каких значениях x выражение под корнем будет неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Функция под корнем выглядит следующим образом:

8/(x^2 - 9) + 1.

Для того чтобы это выражение было неотрицательным, мы должны решить неравенство:

8/(x^2 - 9) + 1 >= 0.

Прежде всего, перенесем 1 в другую сторону:

8/(x^2 - 9) >= -1.

Теперь умножим обе части неравенства на (x^2 - 9), но при этом нужно помнить, что знак неравенства может измениться в зависимости от знака этого выражения. Поэтому рассмотрим два случая: когда (x^2 - 9) > 0 и (x^2 - 9) < 0.

1. Случай 1: x^2 - 9 > 0.
• В этом случае неравенство сохраняет свой знак, и мы получаем:
• 8 >= -1 * (x^2 - 9),
• что упрощается до:
• 8 >= -x^2 + 9.
• Переносим все в одну сторону:
• x^2 <= 17.
• Это означает, что -√17 <= x <= √17.
• Однако, мы также должны учитывать, что x^2 - 9 > 0, что дает нам x < -3 или x > 3.
• Таким образом, в этом случае область определения будет:
• x ∈ (-∞, -3) ∪ (3, √17] ∪ [-√17, ∞).
2. Случай 2: x^2 - 9 < 0.
• Здесь знак неравенства изменится, и мы получим:
• 8 <= -1 * (x^2 - 9),
• что упрощается до:
• 8 <= -x^2 + 9.
• Переносим все в одну сторону:
• x^2 <= 1.
• Это означает, что -1 <= x <= 1.
• Однако, в этом случае x^2 - 9 < 0, что дает нам x ∈ (-3, 3).

Теперь мы можем объединить результаты из обоих случаев:

Область определения функции f(x) будет:

x ∈ (-3, -1] ∪ [1, 3) ∪ (3, √17].

Таким образом, область определения функции f(x) = sqrt(8/(x^2 - 9) + 1) — это все значения x, при которых выражение под корнем не отрицательно.