Какова область определения функции y = (10x^2 - 3x - 1)^(1/2)?

Алгебра 11 класс Область определения функций область определения функции алгебра 11 класс y = (10x^2 - 3x - 1)^(1/2) Новый

Чтобы определить область определения функции y = (10x^2 - 3x - 1)^(1/2), нам необходимо учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что:

10x^2 - 3x - 1 ≥ 0.

Теперь давайте решим неравенство 10x^2 - 3x - 1 ≥ 0:

1. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Для этого используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = 10, b = -3, c = -1.

D = (-3)^2 - 4 * 10 * (-1) = 9 + 40 = 49.

2. Корни уравнения:

Корни можно найти по формуле:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

x1 = (3 + √49) / (2 * 10) = (3 + 7) / 20 = 10 / 20 = 1/2.

x2 = (3 - √49) / (2 * 10) = (3 - 7) / 20 = -4 / 20 = -1/5.

3. Теперь у нас есть корни x1 = 1/2 и x2 = -1/5.

Это значит, что функция 10x^2 - 3x - 1 меняет знак в этих точках. Теперь мы определим знаки на промежутках:

• Для x < -1/5 (например, x = -1): 10(-1)^2 - 3(-1) - 1 = 10 + 3 - 1 = 12 > 0.
• Для -1/5 < x < 1/2 (например, x = 0): 10(0)^2 - 3(0) - 1 = -1 < 0.
• Для x > 1/2 (например, x = 1): 10(1)^2 - 3(1) - 1 = 10 - 3 - 1 = 6 > 0.
4. Таким образом, функция 10x^2 - 3x - 1 неотрицательна на интервалах:

(-∞, -1/5] и [1/2, +∞).

Следовательно, область определения функции y = (10x^2 - 3x - 1)^(1/2) будет:

Область определения: (-∞, -1/5] ∪ [1/2, +∞).