Какова область определения выражения 8x - 15x^2 - 1, если всё это выражение находится под корнем?

Алгебра 11 класс Область определения функций область определения выражение 8x - 15x^2 - 1 под корнем алгебра 11 класс квадратный корень неотрицательные значения неравенства решение неравенств Новый

Чтобы определить область определения выражения 8x - 15x² - 1, которое находится под квадратным корнем, нам нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это означает, что мы должны решить неравенство:

8x - 15x² - 1 ≥ 0

Давайте сначала преобразуем это неравенство. Мы можем привести его к стандартной форме:

-15x² + 8x - 1 ≥ 0

Теперь, чтобы решить это неравенство, мы можем сначала найти корни соответствующего уравнения:

-15x² + 8x - 1 = 0

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Однако, прежде чем это сделать, давайте вычислим дискриминант (Д):

Д = b² - 4ac = 8² - 4*(-15)*(-1) = 64 - 60 = 4

Так как дискриминант положителен, у нашего уравнения есть два различных корня. Теперь найдем их:

x₁ = ( -b + √Д ) / 2a

x₂ = ( -b - √Д ) / 2a

Подставим значения:

x₁ = ( -8 + 2 ) / (-30) = -6 / (-30) = 1/5

x₂ = ( -8 - 2 ) / (-30) = -10 / (-30) = 1/3

Теперь у нас есть два корня: x₁ = 1/5 и x₂ = 1/3. Теперь мы можем определить интервалы, на которых значение выражения 8x - 15x² - 1 будет неотрицательным. Для этого мы рассмотрим интервалы, образованные корнями:

• (-∞; 1/5)
• (1/5; 1/3)
• (1/3; +∞)

Теперь проверим знак подкоренного выражения в этих интервалах:

1. Для интервала (-∞; 1/5): возьмем, например, x = 0. Подставим в выражение: 8*0 - 15*0² - 1 = -1 (отрицательное).
2. Для интервала (1/5; 1/3): возьмем, например, x = 0.2. Подставим: 8*0.2 - 15*(0.2)² - 1 = 1.6 - 0.6 - 1 = 0 (нулевое, включаем корень).
3. Для интервала (1/3; +∞): возьмем, например, x = 1. Подставим: 8*1 - 15*1² - 1 = 8 - 15 - 1 = -8 (отрицательное).

Итак, подкоренное выражение неотрицательно на интервале [1/5, 1/3]. Таким образом, область определения данного выражения под корнем:

Ответ: [1/5; 1/3]