Какова область определения функции y = √((2x - 5) / (x² - 7x - 8)?

Пожалуйста, приведите решение.

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции алгебра 11 класс решение уравнения функции и их свойства квадратный корень дробно-рациональная функция Новый

Чтобы найти область определения функции y = √((2x - 5) / (x² - 7x - 8), необходимо учитывать два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (2x - 5) / (x² - 7x - 8) ≥ 0.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: x² - 7x - 8 ≠ 0.

Теперь рассмотрим каждое из условий по порядку.

Шаг 1: Найдем, когда знаменатель равен нулю.

Решим уравнение:

x² - 7x - 8 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81.
• Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / (2a).
• Подставляем значения: x = (7 ± √81) / 2 = (7 ± 9) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = (7 + 9) / 2 = 8,
• x₂ = (7 - 9) / 2 = -1.

Следовательно, знаменатель равен нулю при x = 8 и x = -1.

Шаг 2: Найдем, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Рассмотрим неравенство:

(2x - 5) / (x² - 7x - 8) ≥ 0.

Это неравенство будет истинным, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

Шаг 3: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: 2x - 5 = 0 ⇒ x = 5.
• Знаменатель: мы уже нашли, что он равен нулю при x = -1 и x = 8.

Шаг 4: Определим знаки выражения на интервалах.

Теперь рассмотрим интервалы, которые образуются этими значениями: (-∞, -1), (-1, 5), (5, 8), (8, +∞).

Проверим знаки в каждом из интервалов:

• Для x < -1 (например, x = -2): (2*(-2) - 5) / ((-2)² - 7*(-2) - 8) = (-4 - 5) / (4 + 14 - 8) = -9 / 10 < 0.
• Для -1 < x < 5 (например, x = 0): (2*0 - 5) / (0² - 7*0 - 8) = (-5) / (-8) > 0.
• Для 5 < x < 8 (например, x = 6): (2*6 - 5) / (6² - 7*6 - 8) = (12 - 5) / (36 - 42 - 8) = 7 / (-14) < 0.
• Для x > 8 (например, x = 9): (2*9 - 5) / (9² - 7*9 - 8) = (18 - 5) / (81 - 63 - 8) = 13 / 10 > 0.

Шаг 5: Составим итоговое неравенство.

Итак, подкоренное выражение неотрицательно на интервалах (-1, 5] и (8, +∞).

Однако, мы не можем включать точки, где знаменатель равен нулю (x = -1 и x = 8).

Область определения функции:

Таким образом, область определения функции y = √((2x - 5) / (x² - 7x - 8) будет:

x ∈ (-1, 5] ∪ (8, +∞).