Какова область определения функции y=√(4x-16x^2)?

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции алгебра 11 класс y=√(4x-16x^2) корень из выражения квадратные корни функции в алгебре Новый

Чтобы найти область определения функции y = √(4x - 16x²), необходимо определить, при каких значениях x подкоренное выражение (4x - 16x²) неотрицательно, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Следуем следующим шагам:

1. Запишем неравенство:

   4x - 16x² ≥ 0.

2. Преобразуем неравенство:

   Для удобства, можно вынести общий множитель:

   4(x - 4x²) ≥ 0.

   Теперь упростим его:

   x(4 - 16x) ≥ 0.

   Или, если мы разделим обе стороны на 4 (что не изменит знак неравенства, так как 4 положительно):

   x(1 - 4x) ≥ 0.

3. Найдем корни:

   Решим уравнение x(1 - 4x) = 0:

   • x = 0
   • 1 - 4x = 0 ⟹ x = 1/4.
4. Определим интервалы:

   Корни делят числовую прямую на три интервала:

   • (-∞, 0)
   • (0, 1/4)
   • (1/4, +∞)
5. Проверим знаки на каждом интервале:
   • Для интервала (-∞, 0): выберем x = -1. Подставляем: (-1)(1 - 4*(-1)) = -1(1 + 4) < 0.
   • Для интервала (0, 1/4): выберем x = 1/8. Подставляем: (1/8)(1 - 4*(1/8)) = (1/8)(1 - 1/2) = (1/8)(-1/2) < 0.
   • Для интервала (1/4, +∞): выберем x = 1. Подставляем: (1)(1 - 4*1) = 1(1 - 4) = 1*(-3) < 0.
6. Итог:

   Таким образом, подкоренное выражение неотрицательно на интервале [0, 1/4].

Ответ: Область определения функции y = √(4x - 16x²) равна [0, 1/4].