Какова область определения функции y=arcsin(1+x^2/2x)?

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции алгебра 11 класс y=arcsin arcsin(1+x^2/2x) функции в алгебре Новый

Для нахождения области определения функции y = arcsin(1 + x^2 / 2x) необходимо учитывать, что функция arcsin(x) определена только для значений x в промежутке от -1 до 1, включая эти границы. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

-1 ≤ 1 + x^2 / 2x ≤ 1

Давайте разберем это неравенство по частям.

1. Первое неравенство: 1 + x^2 / 2x ≥ -1

Перепишем его:

1 + x^2 / 2x + 1 ≥ 0

Это можно упростить:

x^2 / 2x + 2 ≥ 0

Умножим обе стороны на 2x (при условии, что x ≠ 0):

x^2 + 4x ≥ 0

Факторизуем:

x(x + 4) ≥ 0

Это неравенство выполняется, когда x ≤ -4 или x ≥ 0.

2. Второе неравенство: 1 + x^2 / 2x ≤ 1

Перепишем его:

x^2 / 2x ≤ 0

Упростим:

x / 2 ≤ 0

Это неравенство выполняется, когда x ≤ 0.

Теперь объединим результаты:

Из первого неравенства мы получили, что x ≤ -4 или x ≥ 0, а из второго - x ≤ 0. Таким образом, область определения функции будет:

Область определения: x ≤ -4

Таким образом, область определения функции y = arcsin(1 + x^2 / 2x) - это все значения x, которые меньше или равны -4.