Чтобы найти область определения функции y = lg (x^2 - 4x), нам нужно учитывать, что логарифм определен только для положительных аргументов. Это значит, что выражение под логарифмом должно быть больше нуля:

Шаг 1: Найдем неравенство

Мы должны решить неравенство:

x^2 - 4x > 0

Шаг 2: Приведем неравенство к стандартному виду

Для этого сначала вынесем общий множитель:

x(x - 4) > 0

Шаг 3: Найдем нули функции

Теперь найдем корни уравнения x(x - 4) = 0:

• x = 0
• x - 4 = 0, значит x = 4

Таким образом, у нас есть два критических значения: x = 0 и x = 4.

Шаг 4: Определим интервалы

Теперь мы можем разделить числовую прямую на три интервала, используя найденные корни:

• (-∞, 0)
• (0, 4)
• (4, +∞)

Шаг 5: Проверим знаки на каждом интервале

Чтобы определить, где неравенство выполняется, проверим знак выражения x(x - 4) в каждом интервале:

• Для интервала (-∞, 0): выберем x = -1. Подставляем: (-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) > 0.
• Для интервала (0, 4): выберем x = 2. Подставляем: (2)(2 - 4) = (2)(-2) < 0.
• Для интервала (4, +∞): выберем x = 5. Подставляем: (5)(5 - 4) = (5)(1) > 0.

Шаг 6: Записываем область определения

Таким образом, неравенство x(x - 4) > 0 выполняется на интервалах (-∞, 0) и (4, +∞).

Не забываем, что в точках x = 0 и x = 4 логарифм не определен, так как в этих точках аргумент равен нулю.

Таким образом, область определения функции y = lg (x^2 - 4x) будет:

(-∞, 0) ∪ (4, +∞)