Какова область определения функции y = x / √(3x² + 2x - 5)?

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции алгебра 11 класс y = x / √(3x² + 2x - 5) функции и их области математические функции алгебра Новый

Чтобы найти область определения функции y = x / √(3x² + 2x - 5), нам нужно учесть два основных условия:

1. Знаменатель не должен равняться нулю. Поскольку у нас есть корень в знаменателе, выражение под корнем (3x² + 2x - 5) должно быть больше нуля.
2. Корень должен быть определён. Это также означает, что выражение под корнем не должно быть отрицательным.

Теперь давайте решим неравенство:

1. Решим уравнение 3x² + 2x - 5 = 0, чтобы найти границы, где выражение меняет знак. Для этого используем дискриминант:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64.
2. Теперь находим корни:
• x₁ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 8) / 6 = -10 / 6 = -5/3.
• x₂ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 8) / 6 = 6 / 6 = 1.

Теперь у нас есть корни -5/3 и 1. Мы будем исследовать знак выражения 3x² + 2x - 5 на промежутках:

1. Промежутки, которые мы рассмотрим: (-∞, -5/3), (-5/3, 1) и (1, +∞).
2. Выберем тестовые точки:
• Для (-∞, -5/3), например, x = -2: 3*(-2)² + 2*(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 (положительно).
• Для (-5/3, 1), например, x = 0: 3*0² + 2*0 - 5 = -5 (отрицательно).
• Для (1, +∞), например, x = 2: 3*2² + 2*2 - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 (положительно).

Итак, мы получили следующие знаки:

• (-∞, -5/3) - положительно
• (-5/3, 1) - отрицательно
• (1, +∞) - положительно

Таким образом, 3x² + 2x - 5 > 0 на интервалах:

• (-∞, -5/3)
• (1, +∞)

Теперь мы можем записать область определения функции y:

Область определения функции y = x / √(3x² + 2x - 5): (-∞, -5/3) ∪ (1, +∞).