Какова область значений функции:
f(x)= (sinx + cosx)^2?

Алгебра 11 класс Область значений функции область значений функции f(x) = (sinx + cosx)^2 алгебра математика тригонометрические функции Новый

Чтобы определить область значений функции f(x) = (sin x + cos x)^2, нам нужно сначала разобраться с тем, что представляет собой выражение sin x + cos x.

Шаг 1: Найдем максимальное и минимальное значения выражения sin x + cos x.

Для этого воспользуемся следующей формулой:

• sin x + cos x = √2 * sin(x + π/4).

Данная формула говорит нам, что выражение sin x + cos x можно представить в виде произведения √2 и синуса, что позволяет нам легко находить его максимальные и минимальные значения.

Шаг 2: Определим диапазон значений sin(x + π/4).

Синус принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, мы можем записать:

• -1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1.

Умножив это неравенство на √2, получаем:

• -√2 ≤ sin x + cos x ≤ √2.

Шаг 3: Теперь найдем область значений функции f(x).

Так как f(x) = (sin x + cos x)^2, то мы возводим все значения, которые мы нашли на предыдущем шаге, в квадрат. Это важно, потому что при возведении в квадрат отрицательные значения становятся положительными:

• (-√2)^2 = 2,
• (√2)^2 = 2.

Таким образом, минимальное значение f(x) будет равно 0 (когда sin x + cos x = 0), а максимальное значение будет равно 2.

Шаг 4: Запишем окончательный ответ.

Область значений функции f(x) = (sin x + cos x)^2 равна от 0 до 2, то есть:

• [0, 2].

Таким образом, область значений функции f(x) = (sin x + cos x)^2 — это [0, 2].