Какова площадь фигуры, ограниченной кривыми y^2=2x+1 и y=x-1?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры кривые y^2=2x+1 y=x-1 алгебра 11 класс задачи по алгебре геометрические фигуры площадь криволинейной фигуры Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y^2 = 2x + 1 и y = x - 1, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.

Для этого приравняем уравнения друг к другу. Подставим y из второго уравнения в первое:

1. y^2 = 2x + 1
2. (x - 1)^2 = 2x + 1

Раскроем скобки:

1. x^2 - 2x + 1 = 2x + 1

Теперь упростим уравнение:

1. x^2 - 4x = 0

Вынесем x за скобки:

1. x(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два решения: x = 0 и x = 4.

Шаг 2: Найдем соответствующие значения y.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x - 1:

• Для x = 0: y = 0 - 1 = -1
• Для x = 4: y = 4 - 1 = 3

Таким образом, точки пересечения кривых: (0, -1) и (4, 3).

Шаг 3: Найдем площадь фигуры.

Площадь между двумя кривыми можно найти, вычислив интеграл от верхней функции (y = x - 1) минус нижней функции (y = √(2x + 1)) по пределам от x = 0 до x = 4:

Площадь S = ∫(x - 1 - √(2x + 1)) dx от 0 до 4.

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Сначала найдем первообразные обеих функций:

• ∫(x - 1) dx = (x^2)/2 - x
• ∫√(2x + 1) dx = (2/3)(2x + 1)^(3/2) / 2 = (1/3)(2x + 1)^(3/2)

Теперь подставим пределы в наш интеграл:

S = [(x^2)/2 - x - (1/3)(2x + 1)^(3/2)] от 0 до 4.

Шаг 5: Подставим пределы.

Сначала подставим x = 4:

• S(4) = (4^2)/2 - 4 - (1/3)(2*4 + 1)^(3/2) = 8 - 4 - (1/3)(9) = 4 - 3 = 1.

Теперь подставим x = 0:

• S(0) = (0^2)/2 - 0 - (1/3)(2*0 + 1)^(3/2) = 0 - 0 - (1/3)(1) = -1/3.

Теперь найдем разность:

Площадь S = S(4) - S(0) = 1 - (-1/3) = 1 + 1/3 = 4/3.

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y^2 = 2x + 1 и y = x - 1, равна 4/3.